数据结构与算法-图论-最短路-floyd扩展

floyd和它的拓展：

在计算机科学领域，Floyd通常指Floyd Warshall算法，由罗伯特·弗洛伊德（Robert W. Floyd）提出，这是一种用于在加权有向图中查找所有顶点对之间最短路径的算法。

算法原理

Floyd Warshall算法基于动态规划的思想。对于一个具有 (n) 个顶点的加权有向图 (G=(V, E))，用一个 (n n) 的邻接矩阵 (dist) 来存储图中顶点之间的距离，(dist[i][j]) 表示从顶点 (i) 到顶点 (j) 的当前最短距离。算法通过三层循环来逐步更新这个距离矩阵。外层循环引入一个中间顶点 (k)（(1<= k<= n)），对于每一对顶点 (i) 和 (j)，检查是否可以通过中间顶点 (k) 使路径更短，即判断 (dist[i][k] + dist[k][j]) 是否小于 (dist[i][j])，如果是，则更新 (dist[i][j])。经过这 (n) 次的迭代后，(dist[i][j]) 就表示从顶点 (i) 到顶点 (j) 的真正最短距离。

算法特点

优点：能一次性求出图中所有顶点对之间的最短路径，实现相对简单，适用于稀疏图和稠密图，并且可以处理负权边（但不能处理包含负权回路的图）。

缺点：时间复杂度为 (O(n^3))，空间复杂度为 (O(n^2))，在顶点数量较大时，运行效率较低。

拓展运用的具体介绍：

传递闭包

定义与原理：传递闭包是指在有向图中，对于所有顶点对，如果存在从顶点(i)到顶点(j)的路径（可以经过多个中间顶点），则在传递闭包中存在一条从(i)到(j)的有向边。在FloydWarshall算法的基础上，将距离初始化改为可达性初始化，若有直接边相连则可达性为(1)，否则为(0)。在算法过程中，若(dist[i][k]=1)且(dist[k][j]=1)，则(dist[i][j]=1)，表示从(i)到(j)可达。

****应用场景：****在知识图谱中，可通过传递闭包判断概念之间的间接关系。例如，已知"苹果"是"水果"的一种，"水果"是"食物"的一种，通过传递闭包可以得出"苹果"是"食物"的一种。在数据库的关系查询中，也能利用传递闭包快速判断数据之间的关联关系。

最小环问题

定义与原理：最小环是图中权值之和最小的环。在FloydWarshall算法更新最短路径的过程中，对于每个中间顶点(k)，遍历所有顶点对((i, j))，若(ineq j)且(ineq k)且(jneq k)，检查(dist[i][j]+weight(j, k)+weight(k, i))是否小于当前最小环的权值，如果是，则更新最小环的权值和相关顶点信息。这里(weight(j, k))和(weight(k, i))分别是边((j, k))和((k, i))的权值。

应用场景：

在电路设计中，可用于寻找电路中的最小反馈环，帮助优化电路结构，避免信号干扰等问题。在城市交通规划中，分析交通网络中的最小环可以发现一些容易造成拥堵的循环路径，从而针对性地进行交通疏导和道路规划。

网络优化

定义与原理：

在各种网络中，如通信网络、电力网络、物流网络等，将网络中的节点看作图的顶点，节点之间的连接看作边，边的权值可以表示距离、成本、传输时间等。通过FloydWarshall算法求出所有节点对之间的最短路径，从而确定最优的资源分配和传输路径。例如在物流网络中，将配送中心和客户点作为顶点，道路作为边，边的权值为运输成本或距离，利用Floyd算法找到任意两个点之间的最低成本路径，实现物流配送的优化。

应用场景：

在通信网络中，可用于规划数据传输路径，使数据在网络中传输的延迟最小或成本最低。在电力网络中，有助于确定电力传输的最佳路径，减少传输过程中的损耗。

社交网络分析

定义与原理：

在社交网络中，把用户看作顶点，用户之间的关系（如关注、好友等）看作边。FloydWarshall算法可以计算出任意两个用户之间的最短"关系链"长度。如果边有权值，比如可以表示关系的亲密度等，那么算法得到的就是加权的最短关系链。通过分析这些最短关系链，可以了解用户之间的紧密程度和信息传播的可能路径。

****应用场景：****社交媒体平台可以利用这一原理分析用户之间的社交距离，为用户推荐可能认识的人或相关的社交圈子。市场营销人员可以根据用户之间的关系链，制定更精准的营销方案，选择合适的意见领袖来推广产品，以达到更好的传播效果。

恰好经过k条边的最短路

Floyd算法通常用于解决多源最短路径问题，通过扩展也可以解决恰好经过(k)条边的最短路问题

基本思路

传统的Floyd算法通过动态规划的思想，利用状态转移方程(d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]))来更新任意两点(i)和(j)之间的最短路径，其中(d[i][j])表示从(i)到(j)的最短距离。为了求解恰好经过(k)条边的最短路，需要对算法进行扩展，引入一个三维数组(dp[i][j][k])来表示从(i)到(j)恰好经过(k)条边的最短路径长度。

实现步骤

初始化对于(k = 0)，当(i = j)时，(dp[i][j][0]=0)；当(ineq j)时，(dp[i][j][0]=+无穷)。对于(k = 1)，如果(i)和(j)之间有直接边相连，(dp[i][j][1])为该边的权值；否则(dp[i][j][1]=+无穷)。
状态转移对于(k > 1)，状态转移方程为(dp[i][j][k]=min_{1<=slant l<=slant n}(dp[i][l][k 1]+dp[l][j][1]))，其中(n)为图中顶点的个数。这个方程的含义是，从(i)到(j)恰好经过(k)条边的最短路径，是由从(i)到某个中间顶点(l)恰好经过(k 1)条边的最短路径，再加上从(l)到(j)的直接边（即经过(1)条边）的路径长度中的最小值
最终答案经过上述计算后，(dp[i][j][k])中存储的就是从顶点(i)到顶点(j)恰好经过(k)条边的最短路径长度。如果(dp[i][j][k]=+无穷)，则表示从(i)到(j)不存在恰好经过(k)条边的路径。

先看看原始的dp的思想来分析floyd

当然可以滚动数组优化第一维，这里就省略，具体原理看前面的背包问题的滚动数组。

牛的旅行(floyd的现实运用）：

分析：

本题可利用Floyd算法求解牧场内各牧区之间的最短路径，进而找到连接两个牧场后新牧场的最小直径，以下是具体分析：

算法整体思路

数据初始化与牧场划分 - 读取每个牧区的坐标，根据输入的路径信息构建图的邻接矩阵。若两个牧区之间有直接路径相连，则邻接矩阵对应位置存储两点间的欧几里得距离（使用公式(d = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2})计算）；若没有直接相连，存储一个极大值（如(INT_MAX)）。 - 利用深度优先搜索（DFS）或并查集算法，根据构建好的邻接矩阵判断牧区之间的连通性，从而将所有牧区划分到不同的牧场中。
利用Floyd算法计算各牧场内最短路径 - 对于每个划分好的牧场，使用Floyd算法计算牧场内任意两个牧区之间的最短路径。Floyd算法通过三层循环，不断尝试引入中间节点来更新两点之间的最短距离。设(dist[i][j])表示从牧区(i)到牧区(j)的最短距离，通过状态转移方程(dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]))（其中(k)为中间节点）进行迭代更新，最终得到任意两点间的最短距离。 - 遍历每个牧场的距离矩阵，找出该牧场内距离最远的两个牧区，即牧场的直径。
枚举连接点并计算新牧场直径 - 从两个不同的牧场中分别选取一个牧区进行枚举组合。对于每一对选取的牧区，假设分别来自牧场(A)和牧场(B)，将它们连接起来（在距离矩阵中更新两点间的距离为它们的欧几里得距离）。 - 基于更新后的距离矩阵，再次使用Floyd算法计算新牧场内所有牧区之间的最短路径。 - 遍历新牧场的距离矩阵，找出新牧场的直径。
确定最小直径 - 记录所有枚举组合得到的新牧场直径，通过比较找出其中的最小值，该最小值即为连接两个牧场后新牧场的最小直径。

伪代码：

2,排序（传递闭包）

分析：

这道题可通过 Floyd 算法的思想结合不等式的传递性来求解，具体解析如下：

算法思路

初始化 ：使用一个二维数组 inequality[n][n] 来表示变量之间的不等关系，其中 inequality[i][j] 表示变量 i 和变量 j 的关系。初始化时，将所有元素设为未知状态（比如设为 0 ，1 表示 i > j ，-1 表示 i < j ）。
遍历不等式 ：按照题目要求从前到后遍历每对不等关系。对于每对关系，如 A > B ，则将 inequality[A - 'A'][B - 'A'] 设为 1 ，inequality[B - 'A'][A - 'A'] 设为 -1 。然后利用 Floyd 算法的思想，通过传递性更新其他变量之间的关系。例如，若已知 A > B 且 B > C ，则可推出 A > C ，更新 inequality[A - 'A'][C - 'A'] 和 inequality[C - 'A'][A - 'A'] 。
判断结果 ：
1. 确定全部关系且无矛盾 ：在每次更新完不等关系后，检查是否所有变量之间的关系都已确定（即 inequality[i][j] 不为 0 ，对于任意 i 和 j 且 i != j ），且不存在矛盾（如不存在 A > B 且 B > A 的情况）。若满足，则可以根据不等关系确定变量的次序并输出。
2. 发生矛盾 ：在更新不等关系的过程中，如果发现存在 inequality[i][j] 和 inequality[j][i] 同时为 1 或者同时为 -1 的情况，则说明存在矛盾，立即结束循环并输出 "有矛盾"。
3. 无矛盾且未确定全部关系 ：当遍历完所有不等式后，若既没有发现矛盾，也没有确定全部关系，则输出 "无定解"。

伪代码：

3，观光之旅（最小环）：

分析：

Floyd 算法是一种用于求解图中所有顶点对之间最短路径的经典算法，也可以用来解决无向图的最小环问题，思路如下：

初始化

用一个二维数组 dist 来存储图中顶点之间的距离，dist[u][v] 表示顶点 u 到顶点 v 的距离。初始时，对于存在边 (u, v) 且边长为 l 的情况，dist[u][v]=dist[v][u]=l；若不存在直接边，则 dist[u][v]=dist[v][u]=正无穷；同时 dist[u][u]=0。

利用 Floyd 算法更新最短路径

Floyd 算法的核心是通过一个中间顶点 k 来不断尝试更新任意两个顶点 i 和 j 之间的最短路径。即对于每一对顶点 i 和 j，检查 dist[i][k]+dist[k][j] 是否小于当前的 dist[i][j]，如果是，则更新 dist[i][j]。

寻找最小环

在 Floyd 算法的迭代过程中，当处理到中间顶点 k 时，此时 dist[i][j] 表示不经过编号大于 k 的顶点时，i 到 j 的最短路径。

对于每一个 k，枚举所有的 i 和 j（i<j 且 i!=k 且 j!=k），检查 dist[i][k]+dist[k][j]+图中边(i, j)的长度是否能构成一个环。如果能构成环（即图中存在边 (i, j)），则计算该环的长度 len = dist[i][k]+dist[k][j]+图中边(i, j)的长度，并更新最小环的长度和对应的节点序列。