信号处理：互相关函数

文章目录

[互相关函数（Cross-Correlation Function）](#互相关函数（Cross-Correlation Function）)
- 公式定义
- - [1. 离散信号](#1. 离散信号)
  - [2. 连续信号](#2. 连续信号)
  - [3. 归一化互相关函数](#3. 归一化互相关函数)
- 代码及实验

互相关函数（Cross-Correlation Function）

公式定义

1. 离散信号

对于两个离散信号 x $n$ x $n$ x $n$ 和 y $n$ y $n$ y $n$ ，它们的互相关函数 R x y $m$ R_{xy} $m$ Rxy $m$ 定义如下：
m m m 为整数，表示延迟（lag）量。可以是正数（x 滞后于 y）、负数（x 超前于 y）或零（两者对齐）。
R x y $m$ R_{xy} $m$ Rxy $m$ 表示在延迟 m m m 时，信号 x x x 和 y y y 的相似程度。其幅值受信号幅值影响，因此一般用其归一化形式。
R x y $m$ = ∑ n = − ∞ ∞ x $n$ ⋅ y $n + m$ R_{xy} $m$ = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x $n$ \cdot y $n + m$ Rxy $m$ =n=−∞∑∞x $n$ ⋅y $n+m$

2. 连续信号

对于两个连续信号 x ( t ) x(t) x(t) 和 y ( t ) y(t) y(t)，它们的互相关函数 R x y ( τ ) R_{xy}(\tau) Rxy(τ) 定义如下：
R x y ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) ⋅ y ( t + τ ) d t R_{xy}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot y(t + \tau) \, dt Rxy(τ)=∫−∞∞x(t)⋅y(t+τ)dt

3. 归一化互相关函数

为了消除信号幅度的影响，常使用归一化互相关函数（Normalized Cross-Correlation），其公式如下：归一化后的互相关函数 R x y ( τ ) R_{xy}(\tau) Rxy(τ) 的取值范围在 $- 1 , 1$ $-1, 1$ $-1,1$ 之间，值越接近 1 表示两个信号在对应延迟下越相似。
R x y ( τ ) = ∑ n x $n$ ⋅ y $n + τ$ ∑ n x $n$ 2 ⋅ ∑ n y $n$ 2 R_{xy}(\tau) = \frac{\sum_{n} x $n$ \cdot y $n + \\tau$ }{\sqrt{\sum_{n} x $n$ ^2 \cdot \sum_{n} y $n$ ^2}} Rxy(τ)=∑nx $n$ 2⋅∑ny $n$ 2 ∑nx $n$ ⋅y $n+τ$

代码及实验

在信号处理中，互相关法是一种重要的分析手段。互相关函数主要用于衡量两个信号在时间上的相似性。它通过滑动一个信号相对于另一个信号，并计算重叠部分的相似程度，来识别信号之间的时间对齐关系。
如下两个离散信号 x $n$ x $n$ x $n$ 和 y $n$ y $n$ y $n$ ，其互相关函数图如下：
从时域图可以看出，两个信号长得比较像，但怎么表达两个函数长得像呢？ 我们直观可以感觉到，信号 y $n$ y $n$ y $n$ 要比 x $n$ x $n$ x $n$ 延迟一些，幅值小一些，但二者形状上是比较像的。
通过作互相关，我们可以计算出二者在不同时间差异下的相似程度，则相似程度最大处的横坐标，即代表了二者信号的相位差。
我们首先对信号进行取样，取样长度 N = 1000 N=1000 N=1000，互相关函数幅值最大处 τ = 961 \tau=961 τ=961，因此 961 − ( 1000 − 1 ) = − 38 961-(1000-1)=-38 961−(1000−1)=−38，即信号 x $n$ x $n$ x $n$ 要比 y $n$ y $n$ y $n$ 超前38个采样点的时间。

matlab实验代码如下：

matlab 复制代码

% MATLAB代码演示互相关的意义
close all;
clear all;
% 参数设置
Fs = 1000;           % 采样频率 (Hz)
t = 0:1/Fs:1-1/Fs;   % 时间向量 (1秒)
f = 5;               % 信号频率 (Hz)
delay = 40;          % y(n)相对于x(n)的延迟样本数
similarity = 0.8;    % 相似程度系数 (0到1之间)
% 生成信号x(n)
x = sin(2*pi*f*t);
% 生成信号y(n)，通过相似程度系数调整，并添加延迟
y = similarity * sin(2*pi*f*(t - delay/Fs));
% 绘制x(n)和y(n)的时域图
figure('Name','互相关函数演示','Position',[400,400,1200,800]);
subplot(2,1,1);
plot(t, x, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(t, y, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
title('信号x(n)和y(n)的时域图');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('幅度');
legend('x(n)', 'y(n)');
grid on;
% 计算互相关函数，使用 'biased' 选项
N = length(x);
R_xy = xcorr(x, y, 'biased');  % 使用有偏互相关
% 找到互相关函数的最大值及其对应的位置
[max_corr, max_idx] = max(R_xy);
lag_max = max_idx - (N - 1);
% 绘制互相关函数
subplot(2,1,2);
stem(0:length(R_xy)-1, R_xy, 'k', 'LineWidth', 1.5);
title(['互相关函数 R_{xy}(\tau)  (最大值 = ', num2str(max_corr), ')']);
xlabel('延迟 \tau (样本)');
ylabel('互相关幅度');
grid on;
% 标记最大值位置
hold on;
plot(lag_max, max_corr, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');
text(lag_max, max_corr, ['(\tau = ', num2str(lag_max), ')'], 'Color', 'r', 'VerticalAlignment', 'bottom');
hold off;
% 显示延迟信息
fprintf('信号y(n)相对于x(n)的延迟为 %d 个样本。\n', lag_max);

实验结果如下：其中没有归一化，因此纵坐标表示的相似程度会受信号幅值影响。

归一化一般采用能量归一化，使用如下代码：

matlab 复制代码

% 计算互相关函数，使用 'biased' 选项
N = length(x);
R_xy_norm = xcorr(x, y, 'coeff');

归一化之后的结果如下图：