蓝桥杯试题：二分查找数组元素

一、题目描述

给定一个数组，其采用如下代码定义：

int data[200];
for(i = 0 ; i < 200 ; i ++）data[i] = 4 * i + 6;

现给定某个数，请你求出它在 data 数组中的位置（下标）。

输入描述

输入一个待查找的整数（该整数一定在数组 data 中）。

输出描述

输出该整数在数组中的指标。

输入输出样例

示例 1

输入：

输出：

二、代码演示：

1.查询大于等于x的第一个数

java 复制代码

import java.util.*;

// 1:无需package
// 2: 类名必须Main, 不可修改

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int[] data = new int[200];
        for(int i = 0 ; i < 200 ;i++){
          data[i] = 4 * i + 6;}

        int num = scan.nextInt();
        int l = 0;
        int r = 199;

        while(l < r){
          int mid = (l + r) / 2;
          if (num <= data[mid])  r = mid;
          else l = mid + 1;
        }
        System.out.print(l);
         scan.close();
    }
}

2. 查询小于等于x的第一个数

java 复制代码

 while(l < r){
          int mid = (l + r + 1) / 2; //取中间位置靠右的数
          if (num < data[mid])  r = mid - 1;
          else l = mid ;
        }

三、区别分析

这两种二分法的核心区别在于中间点选取策略 和条件判断逻辑的不同，导致它们在特定场景下的行为差异：

1. 中间点计算方式

· 大于等于方法：mid = (l + r) / 2

选择中间靠左的索引（向下取整）。

· 小于等于方法：mid = (l + r + 1) / 2

选择中间靠右的索引（向上取整），避免死循环。

2. 条件判断逻辑

大于等于方法：

if (num <= data[mid]) { r = mid; } else { l = mid + 1; }

· 目标值 <= 中间值：收缩右边界 r 到 mid。

· 目标值 > 中间值：收缩左边界 l 到 mid + 1。

小于等于方法：

if (num < data[mid]) { r = mid - 1; } else { l = mid; }

· 目标值 < 中间值：收缩右边界 r 到 mid - 1。

· 目标值 >= 中间值：收缩左边界 l 到 mid。
3. 关键区别总结

|-------|-------------------------|------------------------------|
| 特性 | 大于等于 | 小于等于 |
| 中间点选择 | 向下取整（靠左） | 向上取整（靠右） |
| 条件判断 | num <= data[mid] 缩右边 | num < data[mid] 缩右边，否则缩左边 |

4.原因分析

（1）处理重复元素的效率

当数组中存在大量重复元素时：

· 第一种方法（左中位数）会收敛到第一个匹配项的位置。

· 第二种方法（右中位数）则会收敛到最后一个匹配项的位置。

示例：

数组 [2, 2, 2, 2]，目标值为 2：

· 第一种方法最终返回 0（第一个 2）。

· 第二种方法最终返回 3（最后一个 2）。

（2）避免死循环

在某些边界条件下，传统写法可能导致死循环。例如：

· 数组为 [1,3]，目标值为 2：

· 若采用 (l + r)/2 计算 mid，当 l=0、r=1 时：

· mid = 0，比较后发现目标值更大，l = mid + 1 = 1。

· 下一轮循环 l=1、r=1，循环结束，结果正确。

· 但如果初始条件或更新策略不当（如未调整边界），可能导致无限循环。

第二种方法通过强制向右取中间点（(l + r + 1)/2），避免了这一风险。

（3）插入点的定义不同

· 第一种方法的目标是找到最左侧的插入点（即第一个大于等于目标值的元素的位置）。

· 第二种方法的目标是找到最右侧的插入点（即最后一个小于等于目标值的元素的位置加一）。

示例：

数组 [1,3,5,7,9]，目标值为 6：

· 第一种方法返回 3（插入到 5 和 7 之间）。

· 第二种方法返回 2（错误，因为 5 < 6 <=7，正确插入点应为 3）。

（4）适应不同的搜索条件

· 第一种方法适用于以下场景：

需要找到第一个满足条件的元素（如最小值、最早出现的元素）。

· 标准的二分查找模板（如 Java 的 Collections.binarySearch）。

· 第二种方法适用于以下场景：

需要找到最后一个满足条件的元素（如最大值、最后一次出现的元素）。

实现"找到最后一个小于等于目标值的元素"的需求。

（5）性能与代码复杂性的权衡

· 第一种方法的代码更简洁，且在大多数情况下性能无差异。

· 第二种方法在重复元素较多时可以减少比较次数（直接跳过中间区域），但需额外注意边界条件。

总结

两种二分法的本质区别在于如何定义"成功条件"：

· 第一种方法关注左侧边界的收敛（向左缩进时保留可能的解）。

· 第二种方法关注右侧边界的收敛（向右缩进时保留可能的解）。