树和二叉树
一. 树
树的定义(递归)
树是n(n>=0)个节点的有限集。
若n=0，称为空树；
若n>0，则满足以下两个条件：
(1)有且仅有一个 特定称为根的节点；
(2)其余节点 可分为m(m>=0)个互不相交的有限集T1，T2...，T~m~ ，其中每一个集合本身又是一棵树，并成为根的子树(SubTree)
2.
#### **树的基本术语**
**根结点**：非空树中无前驱结点的结点。
**结点的度**：结点拥有的子树数。
**树的度**：树内各节点的度的最大值。
**叶子（终端）结点**：度=0。
**分支节点（非终端结点）** ：度！=0。根结点以外的分支节点称为**内部结点**。
**树的深度**：树中结点的最大层次。
结点的子树的根称为该结点的孩子，该节点称为孩子的双亲。如果有共同的双亲，则互称为兄弟。位于同一层的结点为堂兄弟。结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。
结点的子孙：以某结点为根的子树中任意结点。
**有序树**：树中结点的各子树从左到右有次序（最左边的为第一个孩子）。
**无序树**：树中结点的各子树无次序。
**森林**：是m（m\>=0)棵互不相交的树的集合。
把根节点删除，树就变成了森林。
一棵树可以看做一个特殊的森林。
### 二. 二叉树
1.
#### 二叉树的定义
二叉树是n（n\>=0）个结点的有限集，它或者是空集，或者**由一个根结点及两颗互不相交的**分别称作这个根的左子树和右子树的二叉树组成。
特点
1、每个节点最多有两个孩子（**二叉树中不存在度大于2的结点**）。
2、子树有左右之分，其次序不能颠倒。
3、二叉树可以是空集合，根可以有空的左子树或空的右子树。
> 二叉树不是树的特殊情况，他们是两个概念。
>
> 二叉树及时只有一棵树也必须进行区分为左子树还是右子树。
2.
#### **二叉树的性质和存储结构**
##### 2.1**性质**
**性质1** ：在二叉树的第i层上**至多** 有2^i-1^个结点（i\>=1）。
**性质2** ：深度为k的二叉树至多有2^k^-1个结点（k\>=1）。
**性质3** ：对任何一颗二叉树T，如果其叶子树为n~0~，度为2的结点数为n~2~，则**n~0~=n~2~+1**.
* 两种特殊形式的二叉树
编号：从上到下，从左到右
1.满二叉树：一颗深度为k且有2^k^-1个结点的二叉树称为满二叉树
2.完全二叉树：深度为k的有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的**满二叉树**中编号为1\~n的结点一一对应时，称为完全二叉树。
完全二叉树的性质
**性质4** ：具有n个结点的完全二叉树深度为\[log~2~n\]+1.(\[x\]的意思是向下取整)
**性质5**: 一棵有n个结点的完全二叉树,对任意结点i,有:如果i=1,则i为二叉树的根,如果i\>1,则其双亲结点是\[i/2\]
如果2i\>n,则结点i为叶子结点,无左孩子;否则,其左孩子是结点2i
如果2i+1\>n,则结点i无右孩子;否则,其右孩子结点为2i+1.
##### 2.2存储结构
###### 2.2.1 顺序存储结构
实现: 按满二叉树的结点层次编号,依次存放二叉树中的数据元素.
通过编码按顺序将二叉树中的元素存储进数组中.(二叉树中空结点依然要占据数组中的一个位置设为空)
缺点: 容易浪费空间.
特点: 适合于存满二叉树和完全二叉树
###### 2.2.2 链式存储结构
实现: 通过指针,将各个地址的元素串联起来.
```c
typedef struct biNode {
int data;
struct biNode *left;
struct biNode *right;//指向左孩子和右孩子
}biNode,*biTree;
```
在n个结点的二叉链表中,有n+1个空指针域
遍历二叉树
3.1 遍历二叉树算法描述:
遍历方法: 依次遍历二叉树中的三个组成部分 L遍历左子树; D访问根结点; R遍历右子树. 则遍历整个二叉树的方案有:
DLR,LDR,LRD,DRL,RDL,RLD六种.
若规定先左后右,则只有前三种情况:
DLR------先(根)序遍历 LDR------中(根序遍历) LRD------后(根)序遍历
3.1.2 先序遍历:若二叉树为空,则进行空操作;否则 （1）访问根结点；（2）先序遍历左子树；（3）先序遍历右子树。
例：
3.1.3 中序遍历：若二叉树为空，则空操作；否则（1）中序遍历左子树；（2）访问根结点；（3）中序遍历右子树。
例：
3.1.4 后序遍历：若二叉树为空，则空操作；否则（1）后序遍历左子树；（2）后序遍历右子树；（3）访问根结点。
例：
3.2 二叉树的递归遍历
3.2.1 先序递归遍历
c
void preOrder(biTree T) {// 先序递归遍历二叉树
if(T != NULL) {
printf("%d ", T->data);//访问根结点
preOrder(T->left);// 递归遍历左节点
preOrder(T->right);// 递归遍历右节点
}
} 3.2.2 中序递归遍历
c
void inOrder(biTree T) {// 先序递归遍历二叉树
if(T != NULL) {
inOrder(T->left);// 递归遍历左节点
printf("%d ", T->data);//访问根结点
inOrder(T->right);// 递归遍历右节点
}
} 3.2.3 后续递归遍历
c
void postOrder(biTree T) {// 先序递归遍历二叉树
if(T != NULL) {
postOrder(T->left);// 递归遍历左节点
postOrder(T->right);// 递归遍历右节点
printf("%d ", T->data);//访问根结点
}
}3.3 中序遍历的非递归算法（栈）
基本思想：（1）建立一个栈；（2）根结点进栈，遍历左子树；（3）根节点出栈，输出根结点，遍历右子树。
c
void inOrder2(biTree T) {
initStack(S);//初始化栈
biTree p = T;//p为用来遍历的指针
while(p ||!=isEmpty) {
// p或栈不为空时进循环
if(p) {//向佐
Push(S,p);//当前节点入栈
p = p->left;//若左孩子不为空,则一直向左走
}
else {//出栈,并转向出栈节点的右孩子
Pop(S,p);//栈顶元素出栈
printf("%d ",p->data);//访问出栈节点
p = p->right;//向右走
}
}
}3.4 二叉树的层次遍历（队列）
概念：对于一颗二叉树，从根结点开始，按从上到下，从左到右的顺序访问每一个节点。每个节点仅访问一次。
基本思想：（1）将二叉树的根节点入队；
（2）若队列非空，则将队列头结点出队并访问该结点，若它有左孩子，则将其左孩子入队；若它有右孩子，则将其右孩子入队；
（3）重复（2），直至队列为空。
c
void levelOrder(biTree T) {
initQueue(Q);//初始化辅助队列
biTree p;//p为用来遍历的指针
enQueue(Q,T);//将根节点入队
while(!isEmpty(Q)) {//若队列不空,则进入循环
deQueue(Q,p);//队头节点出队
printf("%d ",p->data);//访问出队节点
if(p->left!=NULL) {
enQueue(Q,p->left);//若左孩子不为空,则左孩子入队
}
if(p->right!=NULL) {//若右孩子不空,则右孩子入队
enQueue(Q,p->right);
}
}
} 图片源自:数据结构与算法
部分代码参考:CSDN