Leetcode 378-有序矩阵中第 K 小的元素

给你一个 n x n 矩阵 matrix ，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第 k 小的元素。

请注意，它是 排序后 的第 k 小元素，而不是第 k 个 不同 的元素。

你必须找到一个内存复杂度优于 O(n2) 的解决方案。

示例 1：

输入：matrix = [[1,5,9],[10,11,13],[12,13,15]], k = 8

输出：13

解释：矩阵中的元素为 [1,5,9,10,11,12,13,13,15]，第 8 小元素是 13

示例 2：

输入：matrix = [[-5]], k = 1

输出：-5

提示：

n == matrix.length

n == matrix[i].length

1 <= n <= 300

-109 <= matrix[i][j] <= 109

题目数据 保证 matrix 中的所有行和列都按 非递减顺序 排列

1 <= k <= n2

题解

有序　＋　确定范围　可以使用二分查找

1. 左上角matrix[0][0]是下限，右下角matrix[n-1][n-1]是上限，就有了一个值，第 k 小的元素在这个值域中
   我们对值域进行二分查找(mid=(matrix[0][0]+matrix[n-1][n-1])/2)，使得mid逼近值域中的目标值(第 k 小的元素)
2. 求出矩阵里小于等于mid的有几个，num个
3. num 和 k 比较
   如果比 k 小，说明中间值小了，调整值域范围(left=mid+1)
   否则，说明中间值大了，调整值域范围(right=mid)，一步步锁定目标值

注：

1. 为什么对值二分而不是对索引二分

二分查找可以根据索引二分，也可以根据数值二分，有序数组中，索引的大小可以反映值的大小，对索引二分就行

但这里不是有序的一维数组，索引不能体现值谁大谁小，无法通过二分索引逼近目标值

2. 为什么最后left是第k小的数||二分法如何保证最后的left or right 是数组中的元素？

因为每次值域收缩都保证了第 k 小的数在 left ~ right 之间，当 left==right 时，第 k 小的数即被找出，等于left

class Solution {
    public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {
        int n = matrix.length;
        //left和right是矩阵值不是矩阵下标
        int left = matrix[0][0];
        int right = matrix[n - 1][n - 1];

       //一步步收缩值域范围直至left==right
       //因为每次值域收缩都保证了第 k 小的数在 left ~ right 之间，当 left==right 时，第 k 小的数即被找出，等于left
        while (left < right) {
            //避免溢出
            int mid = left + (right - left)/2;
            //满足 num >= k，范围太大，移动right至mid， 范围收缩
            //注意num=k时说明小于等于mid数的数量等于k，但不代表mid就是结果，因为此时mid不一定在matrix中
            if (check(matrix, mid, k, n)) {
                right = mid;
            } else {//满足 num < k，范围太小，移动left至mid+1， 范围收缩
                left = mid + 1;
            }
        }
        //跳出循环时left=right,返回值left是什么？？？
        return left;
    }

    //从矩阵左下角开始按列遍历每一列，计算每一列中比mid小的元素个数并累加获得num，将num与k比较
    //返回值boolean：矩阵中小于mid的数>=k
    //为什么不直接返回num=k时的mid值？因为mid是通过值域二分法计算出的值，不是实际的矩阵值
    public boolean check(int[][] matrix, int mid, int k, int n) {
        int i = n - 1;
        int j = 0;
        int num = 0;

        while (i >= 0 && j < n) {
            if (matrix[i][j] <= mid) {
                //当前元素小于mid，则本列此元素及上方元素均小于mid，num+=i+1（行号是i,行的数目是i+1）
                num += i + 1;
                //列向右移动，计算下一列小于mid的元素的个数
                j++;
            } else {
                //当前元素大于mid，则向上移动，直到找到比mid小的值，或者出矩阵
                i--;
            }

        }
        return num>=k;
    }

}