尽管《机器学习数学基础》这本书，耗费了比较长的时间和精力，怎奈学识有限，错误难免。因此，除了在专门的网页（ 勘误和修订 ）中发布勘误和修订内容之外，对于重大错误，我还会以专题的形式发布，并做出更多的相关解释。
更欢迎有识之士、广大读者朋友，指出其中的错误。非常感谢大家的帮助。
在《机器学习数学基础》第29页到第30页，推导过渡矩阵和坐标变换的时候，原文有一些错误。下面将推导过程重新编写如下，并且增加一些更详细的说明。此说明没有写入原文，是为了协助理解这段推导而作。
针对性的修改，请参阅：勘误与修订
设 { α 1 , ⋯ , α n } \{\pmb{\alpha}_1, \cdots, \pmb{\alpha}_n\} {α1,⋯,αn}（ α i \pmb{\alpha}_i αi 表示列向量） 是某个向量空间的一个基，则该空间中一个向量 O A → \overrightarrow{OA} OA 可以描述为：
O A → = x 1 α 1 + ⋯ + x n α n (1.3.4) \overrightarrow{OA} = x_1\pmb{\alpha}_1 + \cdots + x_n\pmb{\alpha}_n\tag{1.3.4} OA =x1α1+⋯+xnαn(1.3.4)
其中的 ( x 1 , ⋯ , x n ) (x_1, \cdots, x_n) (x1,⋯,xn) 即为向量 O A → \overrightarrow{OA} OA 在基 { α 1 , ⋯ , α n } \{\pmb{\alpha}_1, \cdots, \pmb{\alpha}_n\} {α1,⋯,αn} 的坐标。
如果有另外一个基 { β 1 , ⋯ , β n } \{\pmb{\beta}_1, \cdots, \pmb{\beta}_n\} {β1,⋯,βn}（ β i \pmb{\beta}_i βi 表示列向量），向量 O A → \overrightarrow{OA} OA 又描述为：
O A → = x 1 ′ β 1 + ⋯ + x n ′ β n (1.3.5) \overrightarrow{OA} = x_1'\pmb{\beta}_1 + \cdots + x_n'\pmb{\beta}_n\tag{1.3.5} OA =x1′β1+⋯+xn′βn(1.3.5)
那么，同一个向量空间的这两个基有没有关系呢？有。不要忘记，基是一个向量组，例如基 { β 1 , ⋯ , β n } \{\pmb{\beta}_1, \cdots, \pmb{\beta}_n\} {β1,⋯,βn} 中的每个向量也在此向量空间，所以可以用基 { α 1 , ⋯ , α n } \{\pmb{\alpha}_1, \cdots, \pmb{\alpha}_n\} {α1,⋯,αn} 线性表出，即：
{ β 1 = b 11 α 1 + ⋯ + b n 1 α n ⋮ β n = b 1 n α 1 + ⋯ + b n n α n \begin{cases}\begin{split}\pmb{\beta}1 &= b{11}\pmb{\alpha}1 + \cdots + b{n1}\pmb{\alpha}_n \\ \vdots \\\pmb{\beta}n &= b{1n}\pmb{\alpha}1 + \cdots + b{nn}\pmb{\alpha}_n \end{split}\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧β1⋮βn=b11α1+⋯+bn1αn=b1nα1+⋯+bnnαn
以矩阵（这里提前使用了矩阵的概念，是因为本书已经在前言中声明，不假定读者完全没有学过高等数学。关于矩阵的更详细内容，请参阅第2章）的方式，可以表示为：
[ β 1 ⋯ β n ] = [ α 1 ⋯ α n ] [ b 11 ⋯ b 1 n ⋮ b n 1 ⋯ b n n ] (1.3.6) \begin{equation} \begin{split} \begin{bmatrix}\pmb{\beta}1&\cdots&\pmb{\beta}n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\pmb{\alpha}1&\cdots&\pmb{\alpha}n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b{11} & \cdots & b{1n}\\\vdots\\b{n1} & \cdots &b{nn}\end{bmatrix} \end{split} \end{equation}\tag{1.3.6} [β1⋯βn]=[α1⋯αn] b11⋮bn1⋯⋯b1nbnn (1.3.6)
其中：
P = [ b 11 ⋯ b 1 n ⋮ b n 1 ⋯ b n n ] \pmb P = \begin{bmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1n}\\\vdots\\b_{n1} & \cdots &b_{nn}\end{bmatrix} P= b11⋮bn1⋯⋯b1nbnn
称为基 { α 1 , ⋯ , α n } \{\pmb{\alpha}_1, \cdots, \pmb{\alpha}_n\} {α1,⋯,αn} 向基 { β 1 , ⋯ , β n } \{\pmb{\beta}_1, \cdots, \pmb{\beta}_n\} {β1,⋯,βn} 的过渡矩阵。显然，过渡矩阵实现了一个基向另一个基的变换。
定义 在同一个向量空间，由基 { α 1 ⋯ α n } \{\pmb{\alpha}_1\quad\cdots\quad\pmb{\alpha}_n\} {α1⋯αn} 向基 { β 1 ⋯ β n } \{\pmb{\beta}_1\quad\cdots\quad\pmb{\beta}_n\} {β1⋯βn} 的过渡矩阵是 P \pmb{P} P ，则：
[ β 1 ⋯ β n ] = [ α 1 ⋯ α n ] P [\pmb{\beta}_1\quad\cdots\quad\pmb{\beta}_n] = [\pmb{\alpha}_1\quad\cdots\quad\pmb{\alpha}_n]\pmb P [β1⋯βn]=[α1⋯αn]P
根据（1.3.5）式，可得：
x 1 ′ β 1 + ⋯ + x n ′ β n = x 1 ′ b 11 α 1 + ⋯ + x 1 ′ b n 1 α n + ⋯ + x n ′ b 1 n α 1 + ⋯ + x n ′ b n n α n = ( x 1 ′ b 11 + ⋯ + x n ′ b 1 n ) α 1 + ⋯ + ( x 1 ′ b n 1 + ⋯ + x n ′ b n n ) α n \begin{split}x_1'\pmb{\beta}1 + \cdots + x_n'\pmb{\beta}n &= x_1'b{11}\pmb{\alpha}1 + \cdots + x_1'b{n1}\pmb{\alpha}n \\ & \quad + \cdots \\ & \quad + x_n'b{1n}\pmb{\alpha}1 + \cdots + x_n'b{nn}\pmb{\alpha}n \\ &=(x_1'b{11}+ \cdots + x_n'b{1n})\pmb{\alpha}1 \\ & \quad + \cdots \\ &\quad+(x_1'b{n1} + \cdots + x_n'b_{nn})\pmb{\alpha}_n\end{split} x1′β1+⋯+xn′βn=x1′b11α1+⋯+x1′bn1αn+⋯+xn′b1nα1+⋯+xn′bnnαn=(x1′b11+⋯+xn′b1n)α1+⋯+(x1′bn1+⋯+xn′bnn)αn
（1.3.4）式 和（1.3.5）式描述的是同一个向量，所以：
{ x 1 = x 1 ′ b 11 + ⋯ + x n ′ b 1 n ⋮ x n = x 1 ′ b n 1 + ⋯ + x n ′ b n n \begin{cases}\begin{split}x_1 &= x_1'b_{11} + \cdots + x_n'b_{1n}\\&\vdots\\x_n &= x_1'b_{n1} + \cdots + x_n'b_{nn}\end{split}\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1xn=x1′b11+⋯+xn′b1n⋮=x1′bn1+⋯+xn′bnn
如果写成矩阵形式，即：
[ x 1 ⋮ x n ] = [ b 11 ⋯ b 1 n ⋮ b n 1 ⋯ b n n ] [ x 1 ′ ⋮ x n ′ ] (1.3.7) \begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1n}\\\vdots\\b_{n1} & \cdots &b_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1'\\\vdots\\x_n'\end{bmatrix}\tag{1.3.7} x1⋮xn = b11⋮bn1⋯⋯b1nbnn x1′⋮xn′ (1.3.7)
表示了在同一个向量空间中，向量在不同基下的坐标之间的变换关系，我们称为坐标变换公式。
定义 在某个向量空间中，由基 { α 1 ⋯ α n } \{\pmb{\alpha}_1\quad\cdots\quad\pmb{\alpha}_n\} {α1⋯αn} 向基 { β 1 ⋯ β n } \{\pmb{\beta}_1\quad\cdots\quad\pmb{\beta}_n\} {β1⋯βn} 的过渡矩阵是 P \pmb{P} P 。某向量在基 { α 1 ⋯ α n } \{\pmb{\alpha}_1\quad\cdots\quad\pmb{\alpha}_n\} {α1⋯αn} 的坐标是 x = [ x 1 ⋮ x n ] \pmb{x}=\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} x= x1⋮xn ，在基 { β 1 ⋯ β n } \{\pmb{\beta}_1\quad\cdots\quad\pmb{\beta}_n\} {β1⋯βn} 的坐标是 x ′ = [ x 1 ′ ⋮ x n ′ ] \pmb x'=\begin{bmatrix}x_1'\\\vdots \\x_n'\end{bmatrix} x′= x1′⋮xn′ ，这两组坐标之间的关系是：
x = P x ′ \pmb x = \pmb P \pmb x' x=Px′
《机器学习数学基础》第29页到第30页的错误，是我讲授《机器学习数学基础》的课程时发现的。现在深刻体会到：教，然后知不足。教学相长，认真地研究教学，也是自我提升。