python-leetcode-解决智力问题

2140. 解决智力问题 - 力扣(LeetCode)

这道题是一个典型的 动态规划(Dynamic Programming, DP) 问题,可以使用 自底向上 的方式解决。

思路

  1. 定义状态

    dp[i] 表示从第 i 题开始,能获得的最高分数。

  2. 状态转移方程

    • 选择解决第 i
      • 这样可以获得 questions[i][0] 分,并且需要跳过 questions[i][1] 题。
      • 下一次可以从 i + questions[i][1] + 1 题开始,即 dp[i] = questions[i][0] + dp[i + questions[i][1] + 1]
    • 选择跳过第 i
      • 这样可以从 i+1 题开始,即 dp[i] = dp[i+1]
    • 取两者的最大值: dp[i]=max⁡(questions[i][0]+dp[i+questions[i][1]+1],dp[i+1])
  3. 边界条件

    • dp[n] = 0 (当超过最后一题时,得分为 0)。
  4. 计算顺序

    • 我们需要从 后往前 计算 dp[i],因为 dp[i] 依赖于 dp[i+1]dp[i + questions[i][1] + 1]

代码实现

python 复制代码
from typing import List

def mostPoints(questions: List[List[int]]) -> int:
    n = len(questions)
    dp = [0] * (n + 1)  # dp[i] 表示从第 i 题开始能获得的最高分

    for i in range(n - 1, -1, -1):  # 逆序遍历
        points, brainpower = questions[i]
        next_index = i + brainpower + 1  # 下一道可以解的题目
        dp[i] = max(points + (dp[next_index] if next_index < n else 0), dp[i + 1])

    return dp[0]

复杂度分析

  • 时间复杂度 :O(n),我们只需遍历 questions 一次,每次 O(1) 计算 dp[i]
  • 空间复杂度 :O(n),用于存储 dp 数组。

示例

输入
复制代码
questions = [[3, 2], [4, 3], [4, 4], [2, 5]]
print(mostPoints(questions))
输出
复制代码
5

优化(O(1) 空间)

我们可以只用一个变量来存储 dp[i+1],这样 dp 数组就不需要额外存储所有状态:

python 复制代码
def mostPoints(questions: List[List[int]]) -> int:
    n = len(questions)
    next_max = 0  # 相当于 dp[i+1]
    
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        points, brainpower = questions[i]
        next_index = i + brainpower + 1
        current = max(points + (dp[next_index] if next_index < n else 0), next_max)
        next_max = current  # 更新 dp[i]
    
    return next_max

这样,我们将 空间复杂度优化为 O(1)

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