回文子序列问题解题模板

回文子序列问题解题模板及本质

回文子序列问题的本质：

回文子序列是一个动态规划相关的经典问题，其目标是寻找一个序列中的最长回文子序列。
回文子序列的本质特点：
- 回文的定义：从左到右读与从右到左读一样。
- 子序列的定义：不用连续，但保持相对位置。
核心思想：
- 通过状态转移和子问题划分解决问题。
- 回文的性质通常反映在递归和动态规划的左右扩展关系中。

经典问题及解题模板

1. Leetcode 516. 最长回文子序列

问题描述：

给定一个字符串 s，寻找其中最长的回文子序列的长度。

解法特点：

使用动态规划解决问题，通过判断两端字符是否相等来决定状态转移。
经典的二维动态规划问题。

解题模板：动态规划

核心步骤：

定义状态：
- 定义 dp[i][j] 表示字符串 s[i...j] 的最长回文子序列长度。
- i 表示起始位置，j 表示结束位置。
状态转移方程：
- 如果 s[i] == s[j]： $dp\[i\]\[j\] = dp\[i+1\]\[j-1\] + 2$ 两端字符可以构成回文的一部分。
- 如果 s[i] != s[j]： $dp\[i\]\[j\] = \\max(dp\[i+1\]\[j\], dp\[i\]\[j-1\])$ 两端字符无法同时参与回文，则选择舍弃一侧。
初始化：
- 对于单字符回文：dp[i][i] = 1。
- 对于空区间：dp[i][j] = 0 （j < i）。
结果：
- 答案是 dp[0][n-1]，即从字符串的起点到终点的最长回文子序列长度。

代码模板：动态规划

java 复制代码

class Solution {
    public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        int n = s.length();
        // 初始化 DP 数组
        int[][] dp = new int[n][n];
        
        // 初始化单字符的情况
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i][i] = 1; // 每个单字符自身构成回文
        }
        
        // 从短区间向长区间递推
        for (int len = 2; len <= n; len++) { // 子区间长度
            for (int i = 0; i <= n - len; i++) {
                int j = i + len - 1; // 计算右边界
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; // 两端相等
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); // 两端不相等
                }
            }
        }
        
        return dp[0][n - 1]; // 全区间最长回文长度
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：
- 外层子区间循环需要进行 (O(n^2)) 计算。
- 每次计算时，只需根据公式访问相关状态。
- 总时间复杂度为 (O(n^2))。
空间复杂度：
- 二维 DP 数组占用 (O(n^2))。

本问题扩展：逻辑与技巧

2. Leetcode 1312. 让字符串成为回文的最少插入次数

问题描述：

给定一个字符串 s，返回将其转化为回文字符串的最少插入次数。

本质和解法：

本质：求一个字符串的"最少插入次数"，实际上可以转化为寻找"最长回文子序列"的补集长度。
公式关系：
最少插入次数 = 字符串长度 - 最长回文子序列的长度。

代码模板：动态规划

java 复制代码

class Solution {
    public int minInsertions(String s) {
        int n = s.length();
        // 这里复用最长回文子序列的 DP 定义
        int[][] dp = new int[n][n];
        
        // 初始化单字符情况
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i][i] = 1;
        }
        
        // 从短区间向长区间递推
        for (int len = 2; len <= n; len++) {
            for (int i = 0; i <= n - len; i++) {
                int j = i + len - 1;
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        
        return n - dp[0][n - 1]; // 补集长度
    }
}

3. Leetcode 647. 回文子串

问题描述：

给定一个字符串 s，计算该字符串中有多少个回文子串。

代码模板：动态规划解决回文子串问题

核心思路：
通过动态规划记录每个子区间是否是回文。

java 复制代码

class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        int n = s.length();
        boolean[][] dp = new boolean[n][n]; // 定义 DP 表：dp[i][j] 表示 s[i...j] 是否是回文
        int count = 0; // 记录回文子串的数量
        
        // 遍历子区间长度
        for (int len = 1; len <= n; len++) {
            for (int i = 0; i <= n - len; i++) {
                int j = i + len - 1; // 计算右边界
                
                if (len == 1) { // 单字符回文
                    dp[i][j] = true;
                } else if (len == 2) { // 两个字符，仅限相等情况
                    dp[i][j] = s.charAt(i) == s.charAt(j);
                } else { // 多字符的情况
                    dp[i][j] = s.charAt(i) == s.charAt(j) && dp[i + 1][j - 1];
                }
                
                if (dp[i][j]) {
                    count++; // 如果是回文子串，计数加一
                }
            }
        }
        
        return count; // 返回总数
    }
}

如何快速写出 AC 代码

明确子问题的递归关系：右边界和子问题依赖；
初始化边界条件，例如单字符、空区间；
状态转移的方向是从短区间到长区间，逐步递推；
边界处理清晰，提升鲁棒性。

典型例题总结

最长回文子序列问题： Leetcode 516
最少插入次数： Leetcode 1312
回文子串数量： Leetcode 647
问题转化扩展： 通过 DP 模板处理多种回文字符串问题，灵活应用递归关系。

通过动态规划模板可以快速实现并解决回文相关问题，适配多种场景，非常适合面试。