动态规划填表技巧：固定最后一个数 vs 固定倒数第二个数

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
    int dp = nums[0], res = dp;
    for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
        dp = max(nums[i], dp + nums[i]);
        res = max(res, dp);
    }
    return res;
}

最长递增子序列（LIS）

状态定义：dp[i] 表示以 nums[i] 为结尾的最长递增子序列长度。

状态转移：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)，其中 j < i 且 nums[j] < nums[i]

代码：

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int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
    vector<int> dp(nums.size(), 1);
    int res = 1;
    for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        res = max(res, dp[i]);
    }
    return res;
}

2. 固定倒数第二个数

适用场景

当问题的解与子问题的中间状态相关时，通常固定倒数第二个数。
例如：最长公共子序列（LCS）、编辑距离等问题。

特点

状态定义通常为 dp[i][j]，表示前 i 个元素和前 j 个元素之间的某种关系。
状态转移方程通常依赖于 dp[i-1][j-1]、dp[i-1][j] 或 dp[i][j-1]。

示例

最长公共子序列（LCS）

状态定义：dp[i][j] 表示字符串 A 的前 i 个字符和字符串 B 的前 j 个字符的最长公共子序列长度。

状态转移：

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if (A[i-1] == B[j-1]) {
    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
} else {
    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}

代码：

cpp 复制代码

int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
    int m = text1.size(), n = text2.size();
    vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (text1[i-1] == text2[j-1]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}

编辑距离

状态定义：dp[i][j] 表示将字符串 A 的前 i 个字符转换为字符串 B 的前 j 个字符所需的最小操作次数。

状态转移：

cpp 复制代码

if (A[i-1] == B[j-1]) {
    dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
} else {
    dp[i][j] = min({dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]}) + 1;
}

代码：

cpp 复制代码

int minDistance(string word1, string word2) {
    int m = word1.size(), n = word2.size();
    vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
    for (int i = 0; i <= m; i++) dp[i][0] = i;
    for (int j = 0; j <= n; j++) dp[0][j] = j;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (word1[i-1] == word2[j-1]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
            } else {
                dp[i][j] = min({dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]}) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}

3. 固定最后一个数与倒数第二个数的对比

特性	固定最后一个数	固定倒数第二个数
适用问题	子数组、子序列问题	双序列、矩阵类问题
状态定义	`dp[i]` 或 `dp[i][j]`	`dp[i][j]`
状态转移	依赖前一个状态或前面所有状态	依赖 `dp[i-1][j-1]` 等中间状态
典型问题	最大子数组和、LIS	LCS、编辑距离

4. 总结

固定最后一个数：适用于子数组或子序列问题，状态转移通常依赖于前一个状态或前面所有状态。
固定倒数第二个数 ：适用于双序列或矩阵类问题，状态转移通常依赖于中间状态（如 dp[i-1][j-1]）。