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1线性变换的概念
高中数学学过映射的概念：对于两个集合 X , Y X,Y X,Y，如果存在一个法则 f f f，使得 X , Y X,Y X,Y中的元素存对应关系，则称 f f f称为集合 X , Y X,Y X,Y的映射 ，映射又有单射、双射、满射之分，其中函数 即是一种数字集合的映射的子集。如果两个集合属于同一个空间，则称映射为变换 。为了更好地在实数或者复数范围内理解线性变换，在以后不特殊说明的情况下，将映射、函数、变换三者视为等价关系。
现在来讨论一下线性的概念。线性代数的起源是为了研究齐次线性方程组的解法，因此线性这次词来源于线性方程。线性方程 的表示形式如下：
a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . a i x i . . . + a n x n = b (1) a_1x_1+a_2x_2+...a_ix_i...+a_nx_n=b\tag{1} a1x1+a2x2+...aixi...+anxn=b(1)
其中 x i x_i xi为未知量， a i a_i ai为系数，将上式写成向量形式 a . x = b a.x=b a.x=b，形如 a x = b ax=b ax=b的式子称为线性等式(方程)。因此线性的含义即利用常系数a乘以未知量x的过程。进一步考虑一元线性等式即： y = a 1 . x 1 y=a_1.x_1 y=a1.x1,可以发现有别于常见的一元一次函数 y = a x + c , c ≠ 0 y= {a}x+c,c\neq0 y=ax+c,c=0，可以发现虽然二者都是直线，但一元一次函数 y = a x + c y=ax+c y=ax+c不符合线性等式的含义（多了个常数项），因此这里要特别注意一元一次函数并不都是线性等式(这里不能因为一元一次函数是直线，就认为它是线性的)。
根据上述讨论很自然地想到线性变换的概念：如果法则 T T T满足以下条件：
- 对于任意向量 u , v u,v u,v有 T ( u + v ) = T u + T v T(u+v)=Tu+Tv T(u+v)=Tu+Tv
- 对于标量 c c c， T ( c u ) = c T ( u ) T(cu)=cT(u) T(cu)=cT(u)
则称 T T T为线性变换(映射)。
其实很容易通过线性方程的表达式获得上述定义。通过上面严格的定义很容易发现，一元一次函数 y = a x + c y=ax+c y=ax+c不符合线性变换第二条规定。
2矩阵
对于线性方程组：
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . a 1 i x i . . . + a 1 n x n = b 1 . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . a n i x i . . . + a n n x n = b 1 (2) a_{11}x_1+a_{12}x_2+...a_{1i}x_i...+a_{1n}x_n=b_1\\\tag{2} ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...a_{ni}x_i...+a_{nn}x_n=b_1 a11x1+a12x2+...a1ixi...+a1nxn=b1...an1x1+an2x2+...anixi...+annxn=b1(2)
令
a 1 = [ a 11 . . . a n 1 ] , . . . , a n = [ a 1 n . . . a n n ] ， x = [ x 1 . . . x n ] ， b = [ b 1 . . . b n ] a_1=\begin{bmatrix} a_{11}\\ .\\ .\\ .\\ a_{n1}\\ \end{bmatrix},...,a_n=\begin{bmatrix} a_{1n}\\ .\\ .\\ .\\ a_{nn}\\ \end{bmatrix}，x=\begin{bmatrix} x_{1}\\ .\\ .\\ .\\ x_{n}\\ \end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix} b_{1}\\ .\\ .\\ .\\ b_{n}\\ \end{bmatrix} a1= a11...an1 ,...,an= a1n...ann ，x= x1...xn ，b= b1...bn
构成列向量。则线性方程组可以写成：
a 1 x 1 + . . . + a n x n = b (3) a_1x_1+...+a_nx_n=b\tag{3} a1x1+...+anxn=b(3)
再将 a 1 . . . a n a_1...a_n a1...an组成行向量:
A = [ a 1 . . . a i . . a n ] (4) A=\begin{bmatrix} a_{1}...a_i..a_n \end{bmatrix}\tag{4} A=[a1...ai..an](4)
则线性方程组可以写成：
A x = b Ax=b Ax=b的形式，其中 A A A称为矩阵。
坐标可以看出是基向量数乘，而后相加之后得到新的向量（坐标）。例如：在平面直角坐标系中，基向量为(0,1),(1,0),坐标(x,y)表示基向量(1,0)乘以x倍，(0,1)乘以y倍，得到一个新的向量，其坐标为(x,y)。
重新观察等式(3)，可以看成常数与向量相乘，再进行相加，其与坐标表示的做法相同，因此可以把 a i a_i ai看成n维空间的一组基向量， x i x_i xi看成基向量的倍数，最后得到了一个新的向量其坐标为 b b b。因此等式(3)可以看成列向量数乘相加的结果(线性组合)，即矩阵的列，可以看成坐标系的一组基向量，矩阵与向量相乘可以看成该坐标系下任意一点(向量)生成的过程，把这种观点称为矩阵乘法的列向量观点（这种基变换的观点对于理解各个变化非常重要）。
3矩阵与线性变换的关系
线性变换离不开矩阵。先给出以下定理：
设 T T T为有限维的实数空间 R m 到 R n \mathbb{R^m}到\mathbb{R^n} Rm到Rn上的线性变换，则存在唯一 的矩阵 A A A,使得：
T ( x ) = A x (5) T(x)=Ax\tag{5} T(x)=Ax(5)
首先证明存在性：
设 I m I_m Im是单位阵，其列向量 e i e_i ei构成m维空间的单位正交基。则:
x = x 1 e 1 + . . . x i e i + . . . x m e m (6) x=x_1e_1+...x_ie_i+...x_me_m\tag{6} x=x1e1+...xiei+...xmem(6)
其中 x i x_i xi为向量 x x x的元素。设 T T T为线性变换：
T ( x ) = T ( x 1 e 1 ) + . . . T ( x i e i ) + . . . T ( x m e m ) (7) T(x)=T(x_1e_1)+...T(x_ie_i)+...T(x_me_m)\tag{7} T(x)=T(x1e1)+...T(xiei)+...T(xmem)(7)
根据线性变换的第二条性质，则有：
T ( x ) = x 1 T ( e 1 ) + . . . x i T ( e i ) + . . . x m T ( e m ) = [ T ( e 1 ) . . . T ( e m ) ] [ x 1 . . . x m ] = A x (8) T(x)=x_1T(e_1)+...x_iT(e_i)+...x_mT(e_m)\\ =\begin{bmatrix} T(e_1)...T(e_m) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ .\\ .\\ .\\ x_m\\ \end{bmatrix}=Ax \tag{8} T(x)=x1T(e1)+...xiT(ei)+...xmT(em)=[T(e1)...T(em)] x1...xm =Ax(8)
再证明唯一性:
[ T ( e 1 ) . . . T ( e m ) ] = A = [ a i . . . a m ] (9) \begin{bmatrix} T(e_1)...T(e_m) \end{bmatrix}=A=\begin{bmatrix} a_i...a_m \end{bmatrix}\tag{9} [T(e1)...T(em)]=A=[ai...am](9)
a i a_i ai为矩阵 A A A的列向量，其中 a i = T ( e i ) a_i=T(e_i) ai=T(ei),设 B B B是 T T T对应的另一个矩阵，则 T ( e i ) = B e i = b i T(e_i)=Be_i=b_i T(ei)=Bei=bi，所以有矩阵 A , B A,B A,B的列向量相等，从而得到 A = B A=B A=B.
4线性变换的基本几何不变量
有上述讨论可知：有限维实数空间内，线性变换可以被矩阵唯一表示，而矩阵与向量乘法可以看为矩阵列向量与向量元素(数字)相乘得到的向量再求和，即向量的矩阵变换可以看作一系列新的向量相加的结果。在这里只讨论同一维度空间(n=m,A为方阵，且满秩)的线性映射(变换)，以二维空间为例：
(1)直线性
设 P 1 , P 2 P_1,P_2 P1,P2为不重合两点，这两个构成一条直线，其对应的坐标为 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2，经过同一线性变换后，得到变换后的点坐标 P 1 ′ , P 2 ′ P_1',P_2' P1′,P2′，其对应的坐标为 x 1 ′ = A x 1 , x 2 = A x 2 ′ x_1'=Ax_1,x_2=Ax_2' x1′=Ax1,x2=Ax2′， P 1 , P 2 P_1,P_2 P1,P2不重合,所以 x 1 ′ ≠ x 2 ′ ， P 1 ′ , P 2 ′ x_1'\neq x_2'， P_1',P_2' x1′=x2′，P1′,P2′不重合，经同一线性变换后仍为一条直线。类似直线性的证明，易得不共线三点，经线性变换也不共线。
(2)平行性
设直线 l 1 / / l 2 l_1//l_2 l1//l2， P 1 , P 2 位于 l 1 上 , P 3 , P 4 位于 l 2 上，其坐标向量分别为 : x 1 , x 2 , x 3 , x 4 P_1,P_2位于l_1上,P_3,P_4位于l_2上，其坐标向量分别为:x_1,x_2,x_3,x_4 P1,P2位于l1上,P3,P4位于l2上，其坐标向量分别为:x1,x2,x3,x4,构成平行四边形，其坐标为 y 1 , y 2 , y 3 , y 4 y_1,y_2,y_3,y_4 y1,y2,y3,y4，经线性变换A后得到对应的点 P 1 ′ , P 2 ′ , P 3 ′ , P 4 ′ P_1',P_2',P_3',P_4' P1′,P2′,P3′,P4′，可知 P 1 P 2 ⃗ / / P 3 P 4 ⃗ \vec{P_1P_2}//\vec{P_3P_4} P1P2 //P3P4 ，有: x 2 − x 1 = x 4 − x 3 x_2-x_1=x_4-x_3 x2−x1=x4−x3，则经线性变换有， A ( x 2 − x 1 ) = A ( x 4 − x 3 ) A(x_2-x_1)=A(x_4-x_3) A(x2−x1)=A(x4−x3),根据线性变换第一条性质，展开可得 y 2 − y 1 = y 4 − y 3 y_2-y_1=y_4-y_3 y2−y1=y4−y3，且任意三点不共线，即 P 1 ′ P 2 ′ ⃗ / / P 3 ′ P 4 ′ ⃗ \vec{P_1'P_2'}//\vec{P_3'P_4'} P1′P2′ //P3′P4′ .所以平行线经线性变换后仍保持平行的性质。
基于以上两条基本的不变性，可以得到，平行四边形经过线性变换后，仍然是平行四边形，关于几何图形有很多其他结论，这里不一一列举了。
5结论
有限维实数空间范围内，线性变换和矩阵一一对应关系，即矩阵和线性变换是等价的。可以用满秩方阵表示的线性变换都具有几何直线性和平行性。
6一些基础的线性变换
这里以二维空间为例：
二维笛卡尔坐标系的基构成的单位阵为： I = [ 1 0 0 1 ] I=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1\\ \end{bmatrix} I=[1001],假设任意二维向量 x = ( a b ) x=\begin{pmatrix} a\\ b\\ \end{pmatrix} x=(ab),向量 u , v u,v u,v为单位阵的列向量，构成一组单位正交基，考察将单位阵适当变化为矩阵 A A A，长方形 P 1 P 2 P 3 P 4 P_1P_2P_3P_4 P1P2P3P4在新的矩阵下 A A A的变化情况。
剪切变换：
- 水平剪切变换 ： A = [ 1 k 0 1 ] A=\begin{bmatrix} 1&k\\ 0&1\\ \end{bmatrix} A=[10k1]， A x = a ( 1 0 ) + b ( k 1 ) Ax=a\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} k\\ 1\\ \end{pmatrix} Ax=a(10)+b(k1),即此时矩阵A的列向量构成了一组新的基，x方向的基没有发生变化，y方向的基发生了变化,如下图所示 u ′ ( P 1 K ⃗ ) u'(\vec{P_1K}) u′(P1K )为y方向新的基：
由于x方向的基没有发生变化所以 P 1 , P 3 P_1,P3 P1,P3不会发生变化， P 2 P_2 P2为y方向的基向量的4倍，在新的基下 P 2 ′ = P 1 P 2 ′ ⃗ = 4 ( k 1 ) P_2'=\vec{P_1P_2'}=4\begin{pmatrix} k\\ 1\\ \end{pmatrix} P2′=P1P2′ =4(k1),此时新的基已经不正交（垂直），所以长方形 P 1 P 2 P 3 P 4 P_1P_2P_3P_4 P1P2P3P4在新的矩阵下 A A A变成如下形式：
- 垂直剪切变换 ： A = [ 1 0 k 1 ] A=\begin{bmatrix} 1&0\\ k&1\\ \end{bmatrix} A=[1k01]，类似上面的分析，这里就不具体讨论了
缩放变换:
- 水平缩放变换： A = [ k 0 0 1 ] A=\begin{bmatrix} k&0\\ 0&1\\ \end{bmatrix} A=[k001],根据矩阵乘法，列向量（基向量）的观点，很容易看出，此时是x方向的基向量缩放k倍，但新的基仍保持正交，所以矩形角度不会变化，只有长度变化，可以根据水平剪切的示例做出相应的图像分析，这里不再赘述。
- 垂直缩放变换： A = [ 1 0 0 k ] A=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&k\\ \end{bmatrix} A=[100k]
对称变换：
-
水平对称变换： A = [ − 1 0 0 1 ] A=\begin{bmatrix} -1&0\\ 0&1\\ \end{bmatrix} A=[−1001]
-
垂直对称变换： A = [ 1 0 0 − 1 ] A=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1\\ \end{bmatrix} A=[100−1]
根据以上基础的变换组合(相乘)可以得到更加一般的矩阵，即任意矩阵可以看成一些基础线性变换的组合。
参考资料:
《线性代数及其应用》David.C.Lay
《线性代数》李尚志