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题目描述如下:
一个机器人位于一个 m x n网格的左上角 （起始点在下图中标记为 "Start" ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 "Finish" ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
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向右 -> 向下 -> 向下
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向下 -> 向下 -> 向右
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向下 -> 向右 -> 向下
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算法思路:
方法1:
我们可以使用动态规划解决此问题。我们设res(i, j)表示从左上角到达第i行j列的格子所用的路径数。那么递推关系如下:
res(i, j)=res(i, j-1)+res(i-1,j)
我们可以从左上角开始遍历网格，按行遍历。设res(0, 0)=1。
时间复杂度为O(mn)。下面是Python代码实现:
class Solution(object):
def uniquePaths(self, m, n):
"""
:type m: int
:type n: int
:rtype: int
"""
res= [[0 for _ in range(n)] for _ in range(m)]
for i in range(m):
for j in range(n):
if i==0 and j==0:
res[i][j]=1
continue
fromL=res[i][j-1] if j>0 else 0
fromT=res[i-1][j] if i>0 else 0
res[i][j]=fromL+fromT
return res[m-1][n-1]方法2:
我们还可以通过组合数学方式通过计算得出。我们从左上角移动到右下角，向右走需要n-1步，向下走需要m-1步，总共需要走m+n-2步。那么我们需要从m+n-2里面找出n-1个数的全部组合数C(m+n-2, n-1)即为最终答案。
假如我们总共需要走10步。向右总共需要走2步。那在哪2步需要向右走呢？那就是从1至10这10个数里取2个数的全部方案C(10, 2)即为最终答案。
在Python 3里可以使用comb(m + n - 2, n - 1)直接计算得出。下面是Python代码实现:
class Solution:
def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
return comb(m + n - 2, n - 1)关键词: 动态规划，组合数学