算法随笔_74: 不同路径_1

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题目描述如下:

一个机器人位于一个 m x n网格的左上角 （起始点在下图中标记为 "Start" ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 "Finish" ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 2

输出：3

解释：

从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下

2. 向下 -> 向下 -> 向右

3. 向下 -> 向右 -> 向下

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算法思路:

方法1:

我们可以使用动态规划解决此问题。我们设res(i, j)表示从左上角到达第i行j列的格子所用的路径数。那么递推关系如下:

res(i, j)=res(i, j-1)+res(i-1,j)

我们可以从左上角开始遍历网格，按行遍历。设res(0, 0)=1。

时间复杂度为O(mn)。下面是Python代码实现:

class Solution(object):
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        res= [[0 for _ in range(n)] for _ in range(m)]
        
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                if i==0 and j==0:
                    res[i][j]=1
                    continue
                fromL=res[i][j-1] if j>0 else 0
                fromT=res[i-1][j] if i>0 else 0
                res[i][j]=fromL+fromT
        return res[m-1][n-1]

方法2:

我们还可以通过组合数学方式通过计算得出。我们从左上角移动到右下角，向右走需要n-1步，向下走需要m-1步，总共需要走m+n-2步。那么我们需要从m+n-2里面找出n-1个数的全部组合数C(m+n-2, n-1)即为最终答案。

假如我们总共需要走10步。向右总共需要走2步。那在哪2步需要向右走呢？那就是从1至10这10个数里取2个数的全部方案C(10, 2)即为最终答案。

在Python 3里可以使用comb(m + n - 2, n - 1)直接计算得出。下面是Python代码实现:

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        return comb(m + n - 2, n - 1)

关键词: 动态规划，组合数学