（分块）洛谷 P2801 教主的魔法题解

之前学过莫队算法，其运用了分块思想；但是我居然是第一次写纯种的分块题目。

题意

给你一个长度为 n n n 的序列 a a a（一开始 ∀ a i ∈ [ 1 , 1000 ] \forall a_i\in[1,1000] ∀ai∈[1,1000]）。要求执行 q q q 次操作，操作有两种，每次形如 o p , l , r , w / c op,l,r,w/c op,l,r,w/c：

o p op op 为 M \rm M M，将 a l , a l + 1 , ⋯ , a r a_l,a_{l+1},\cdots,a_r al,al+1,⋯,ar 分别加上 w w w；
o p op op 为 A \rm A A，查询 a l , a l + 1 , ⋯ , a r a_l,a_{l+1},\cdots,a_r al,al+1,⋯,ar 中，有多少个数大于 c c c。

n ≤ 1 0 6 , q ≤ 3000 , w ≤ 1000 , c ≤ 1 0 9 n\le10^6,q\le3000,w\le1000,c\le10^9 n≤106,q≤3000,w≤1000,c≤109

思路

主席树？是我早就不会打的。

如果我们把它变成一道分块练习题呢？

考虑对序列 a a a 分块，对于每一块内，使用辅助数组 b b b 以保证块内数有序。不妨设 b l t , b r t bl_t,br_t blt,brt 表示块 t t t 的左右端点， b e l i bel_i beli 表示下标 i i i 所在的块的编号。

对于修改操作 l , r , w l,r,w l,r,w，如果 ∃ t , b l t ≤ l < r ≤ b r t \exist t,bl_t\le l<r\le br_t ∃t,blt≤l<r≤brt，即同一块， t = b e l l = b e l r t=bel_l=bel_r t=bell=belr，如果其不在左右端点上，那么块内的排序性质就会被破坏；反之如果它们不在同一块，说明它们中间跨过了若干块整块的区间，我们发现被跨过的区间仍然保持有序。

那么我们得到一个初步的修改方法：

设左右端点所在的块分别在 l b = b e l l , r b = b e l r lb=bel_l,rb=bel_r lb=bell,rb=belr，如果 l b = r b lb=rb lb=rb，就块内暴力加 w w w 并快排更新；
否则即 l b < r b lb<rb lb<rb，我们发现块 l b + 1 ∼ r b − 1 lb+1\sim rb-1 lb+1∼rb−1 内仍然有序，那么不妨想线段树引入懒惰标记一样，我们搞一个加法标记，把整一块 t t t 内所有元素同时加的数，用 t a g t tag_t tagt 记录下来，等到查询时再处理；只强制更新更新 l ∼ b r l b l\sim br_{lb} l∼brlb 和 b l r b ∼ r bl_{rb}\sim r blrb∼r 的数据和块 l b , r b lb,rb lb,rb。

这样子大大减少了排序的次数 ，每次修改操作顶多 2 × log ⁡ 2 n 2\times \log_2n 2×log2n，瓶颈在于快排。

cpp 复制代码

void modify(ll t)//更新t块内数据
{
    for(int i=bl[t];i<=br[t];i++)
    b[i]=a[i];
    sort(b+bl[t],b+br[t]+1);
}
void add(ll ql,ll qr,ll x)//l,r,w
{
    ll lb=bel[ql],rb=bel[qr];//左右端所在块
    if(lb==rb)//同一块
    {
        for(int i=ql;i<=qr;i++)
        a[i]+=x;
        modify(lb);
        return;
    }
    //不同块
    for(int i=ql;i<=br[lb];i++)
    a[i]+=x;
    for(int i=bl[rb];i<=qr;i++)
    a[i]+=x;
    modify(lb);
    modify(rb);
    for(int i=lb+1;i<rb;i++)//lb+1~rb-1块打标记
    tag[i]+=x;
}

接下来就是查询，其实就和修改所运用的思想差不多了。同样讨论 l , r l,r l,r 在或不在同一块的两种情况。如果同一块就直接 q l ∼ q r ql\sim qr ql∼qr 扫过去（倒着枚举提前 break 凹时间也行、甚至乎二分，反正块上数组 b b b 就是有序的），不同块就搜左右两边 l ∼ b r r b l\sim br_{rb} l∼brrb 和 b l r b ∼ r bl_{rb}\sim r blrb∼r（这里不能二分，因为原数组并非有序），至于中间的整块整块的，按块二分就好。

cpp 复制代码

ll find(ll ql,ll qr,ll x)
{
	ll l=ql,r=qr;
	while(l<=r)
	{
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(b[mid]<x)l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	return qr-l+1;
}
ll query(ll ql,ll qr,ll x)
{
    ll ret=0,lb=bel[ql],rb=bel[qr];
    if(lb==rb)
    {
        ret+=find(ql,qr,x-tag[lb]);
        return ret;
    }
	for(int i=ql;i<=br[lb];i++)
	if(a[i]+tag[lb]>=x)ret++;
	for(int i=bl[rb];i<=qr;i++)
	if(a[i]+tag[rb]>=x)ret++;
    for(int i=lb+1;i<rb;i++)
    ret+=find(bl[i],br[i],x-tag[i]);
    return ret;
}

块长 n \sqrt{n} n ，修改一次是块长+块内排序，查询是块内二分或块长扫左右端+块数*块内二分，时间复杂度 Θ ( m n + m n log ⁡ 2 n ) = Θ ( m n log ⁡ 2 n ) \Theta(m\sqrt{n}+m\sqrt{n}\log_2\sqrt{n})=\Theta(m\sqrt{n}\log_2\sqrt{n}) Θ(mn +mn log2n )=Θ(mn log2n )。

代码

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=1e6+9;
ll n,q,a[N];
ll tag[N];//加法标记
ll bSize,cnt_b,bel[N],bl[N],br[N],b[N];
void init()
{
    bSize=sqrt(n);
    cnt_b=n/bSize;
    if(n%bSize)cnt_b++;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        bel[i]=(i-1)/bSize+1;
        b[i]=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=cnt_b;i++)
    {
        bl[i]=(i-1)*bSize+1;
        br[i]=i*bSize;
    }
    br[cnt_b]=n;
    for(int i=1;i<=cnt_b;i++)
    sort(b+bl[i],b+br[i]+1);
}
void modify(ll t)//更新t块内数据
{
    for(int i=bl[t];i<=br[t];i++)
    b[i]=a[i];
    sort(b+bl[t],b+br[t]+1);
}
void add(ll ql,ll qr,ll x)
{
    ll lb=bel[ql],rb=bel[qr];//左右端所在块
    if(lb==rb)//同一块
    {
        for(int i=ql;i<=qr;i++)
        a[i]+=x;
        modify(lb);
        return;
    }
    //不同块
    for(int i=ql;i<=br[lb];i++)
    a[i]+=x;
    for(int i=bl[rb];i<=qr;i++)
    a[i]+=x;
    modify(lb);
    modify(rb);
    for(int i=lb+1;i<rb;i++)//lb+1~rb-1块打标记
    tag[i]+=x;
}
ll find(ll ql,ll qr,ll x)
{
	ll l=ql,r=qr;
	while(l<=r)
	{
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(b[mid]<x)l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	return qr-l+1;
}
ll query(ll ql,ll qr,ll x)
{
    ll ret=0,lb=bel[ql],rb=bel[qr];
    if(lb==rb)
    {
        ret+=find(ql,qr,x-tag[lb]);
        return ret;
    }
	for(int i=ql;i<=br[lb];i++)
	if(a[i]+tag[lb]>=x)ret++;
	for(int i=bl[rb];i<=qr;i++)
	if(a[i]+tag[rb]>=x)ret++;
    for(int i=lb+1;i<rb;i++)
    ret+=find(bl[i],br[i],x-tag[i]);
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%lld",&a[i]);
    init();
    while(q--)
    {
        char op;
        ll l,r,x;
        cin>>op;
        scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&x);
        if(op=='M')add(l,r,x);
        else printf("%lld\n",query(l,r,x));
    }
    return 0;
}

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代码

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