P3986 斐波那契数列
题目描述
定义一个数列：
f ( 0 ) = a , f ( 1 ) = b , f ( n ) = f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) f(0) = a, f(1) = b, f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) f(0)=a,f(1)=b,f(n)=f(n−1)+f(n−2)
其中 a, b 均为正整数，n ≥ 2。
问有多少种 (a, b)，使得 k 出现在这个数列里，且不是前两项。
由于答案可能很大，你只需要输出答案模 10^9 + 7 的结果即可。
输入格式
一行一个整数 k。
输出格式
一行一个数，表示答案模 10^9 + 7的结果。
输入输出样例 1
输入 1
19260817输出 1
34166325输入输出样例 2
输入 2
1000000000输出 2
773877569说明/提示
1 ≤ k ≤ 10^9
EXP：
针对于该函数数列中的数据分别为 : a + b , a + 2 b , 2 a + 3 b , 3 a + 5 b 即 a , b 的系数是斐波那契数列的数据。 1 ≤ k ≤ 1 0 9 , 针对 40 项左右的斐波那契数就已经超过该范围，并且 a , b 都是正整数。所以可以遍历斐波那契数列判断 a . k = a f [ x − 1 ] + b f [ x ] = > b f [ x ] = k − a f [ x − 1 ] = > b = ( k − a f [ x − 1 ] ) / f [ x ] 因为 a , b 正整数的缘故。 k − a f [ x − 1 ] ≡ 0 ( m o d f [ x ] ) = > k ≡ a f [ x − 1 ] ( m o d f [ x ] ) , 因为 g c d ( f [ x ] , f [ x − 1 ] ) = 1 a ≡ ( k ∗ f − 1 [ x − 1 ] ( m o d f [ x ] ) ) ( m o d f [ x ] ) 并且要保证 b > 0 , 即判断 a < k / f [ x − 1 ] 针对于该函数数列中的数据分别为:a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b即a,b的系数是斐波那契数列的数据。\\ 1≤k≤10^9,针对40项左右的斐波那契数就已经超过该范围，并且a,b都是正整数。所以可以遍历斐波那契数列判断a.\\ k = af[x-1] + bf[x]=>bf[x] = k - af[x-1]=>b=(k-af[x-1])/f[x]因为a,b正整数的缘故。\\ k-af[x-1]\equiv0(modf[x])=>k\equiv af[x-1](modf[x]),因为gcd(f[x],f[x-1])=1\\ a\equiv (k * f^{-1}[x-1](modf[x]))(modf[x])并且要保证b >0,即判断a<k/f[x-1] 针对于该函数数列中的数据分别为:a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b即a,b的系数是斐波那契数列的数据。1≤k≤109,针对40项左右的斐波那契数就已经超过该范围，并且a,b都是正整数。所以可以遍历斐波那契数列判断a.k=af[x−1]+bf[x]=>bf[x]=k−af[x−1]=>b=(k−af[x−1])/f[x]因为a,b正整数的缘故。k−af[x−1]≡0(modf[x])=>k≡af[x−1](modf[x]),因为gcd(f[x],f[x−1])=1a≡(k∗f−1[x−1](modf[x]))(modf[x])并且要保证b>0,即判断a<k/f[x−1]
python
# coding: utf-8
MOD = 10 ** 9 + 7
def gcd_extended(a,b):
"""
扩展欧几里得算法
返回一个元组(d,x,y) 使得 d = gcd(a,b) = ax + by
"""
if a == 0:
return (b,0,1)
gcd , x1 , y1 = gcd_extended(b % a , a)
x = y1 - (b // a) * x1
y = x1
return (gcd,x,y)
def mod_inverse(a,m):
"""
求模逆元
使用扩展欧几里得算法返回a在m下的逆元
如果没有逆元返回None
"""
gcd, x, y = gcd_extended(a,m)
if gcd != 1:
return None # 如果a 和 m不互素
else:
return x % m # 返回逆元
def matrix_mul(A, B):
"""矩阵乘法"""
return [[sum(a * b for a, b in zip(col, row)) for col in zip(*B)] for row in A]
def matrix_pow(A, n):
"""矩阵快速幂"""
size_ = len(A)
if n == 0:
res = [[0 for _ in range(size_)] for _ in range(size_)]
for i in range(size_):
res[i][i] = 1
elif n == 1:
return A
else:
y = matrix_pow(A, n // 2)
if n & 1:
return matrix_mul(matrix_mul(y, y), A)
return matrix_mul(y, y)
K = int(input())
counter = 0
A = [
[0, 1],
[1, 1]
]
# 遍历前面的斐波那契数列
for i in range(2,42):
temp = matrix_mul([[0,1]],matrix_pow(A,i - 1))
f_x = temp[0][1]
f_x_1 = temp[0][0]
# 计算范围内最小的a
a = (K * mod_inverse(f_x_1,f_x)) % f_x
# 求取k / f[x-1] 由于向下取整，所以b > 0时要求是个足够大的正整数
target = K // f_x_1 - 1
if a < target:
# 如果a = 0则a本身不在计算
if a == 0:
counter -= 1
# 根据a的大小，加上a + k_counter * f[x] 的所有a
counter = (counter + 1 + (target - a) // f_x) % MOD
print(counter)