【经典题目】逆序对的数量 离散化技巧

P1908 逆序对

逆序对

题目描述

逆序对就是序列中 \(a_i>a_j\) 且 \(i<j\) 的有序对。

以下解法时间复杂度均为 \(O(log n)\)

两种算法比较：

• 归并分治的做法属于离线，并且修改了原始数组；他不受数据值域的限制
• 树状数组的做法属于在线，每次都可以实时的拿到答案，并且不需要修改原始数组，但是受数据值域的限制

归并分治解法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int help[500005];

long long merge(vector<int>& arr, int l, int m, int r) {
	long long ans = 0;
	for (int i = m, j = r; i >= l; i--) {
		while (j > m && arr[i] <= arr[j]) {
			j--;
		}
		ans += j - m;
	}
	int i = l, a = l, b = m+1;
	while (a <= m && b <= r) {
		help[i++] = arr[a] < arr[b] ? arr[a++] : arr[b++];
	}
	while (a <= m) {
		help[i++] = arr[a++];
	}
	while (b <= r) {
		help[i++] = arr[b++];
	}
	for (int i = l; i <= r; i++) {
		arr[i] = help[i];
	}
}

long long f(vector<int>& arr, int l, int r) {
	if (l == r) {
		return 0;
	}
	int mid = (r - l) / 2 + l;
	return f(arr, l, m) + f(arr, m+1, r) + merge(arr, l, m, r);
}

int main() {
	
	return 0;
}

树状数组解法

首先，逆序对就是每遍历到一个数，看看在他后面的数中有几个比他大，因此可以从右往左遍历，统计 \([1, x-1]\) 词频的词频，每次遍历到新的数字需要单点修改，与范围查询前缀和，因此选择树状数组，注意到数据范围过大，如果不做处理将会达到 \(10^9\) 的量级。可以确定的是，我们不需要具体数字大小，只需要相对大小，因此可以离散化处理。

具体处理如下，将原始数据从小到大排序，它的下标就为新值，再将该值刷回数组中，这样将值域从 \(10^9\) 减小到了和数组大小一致的量级，且保证了数据的相对大小

处理原始数据，保证新值不小于 1

void transfer() {
    sort(arr+1, arr+n+1);
    len = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (arr[len] != arr[i]) arr[++len] = arr[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sorted[i] = lower_bound(arr+1, arr+1+len, sorted[i]) - arr;
    }
}

总代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 5e5+7;
int n;
int arr[MAXN];
int sorted[MAXN];
int tree[MAXN];
int len;
void transfer() {
    sort(arr+1, arr+n+1);
    len = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (arr[len] != arr[i]) arr[++len] = arr[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sorted[i] = lower_bound(arr+1, arr+1+len, sorted[i]) - arr;
    }
}

void add(int i, int v) {
    while (i <= n) {
        tree[i] += v;
        i += i & (-i);
    }
}

long long sum(int i) {
    long long ans = 0;
    while (i > 0) {
        ans += tree[i];
        i -= i & (-i);
    }
    return ans;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> arr[i];
        sorted[i] = arr[i];
    }
    transfer();
    long long ans = 0;
    for (int i = n; i > 0; i--) {
        int x = sorted[i];
        ans += sum(x-1);
        add(x, 1);
    }
    cout << ans << "\n";
    
    return 0;
}