树状数组

罗湖老棍子

【例 1】数列操作（信息学奥赛一本通- P1535）给定n个数列,规定有两种操作，一是修改某个元素，二是求子数列[a,b]的连续和。数列元素个数最多10万个，询问操作最多10万次。

数据结构——树状数组和在线、离线操作树状数组（Binary Indexed Tree 简称：BIT）是一种只支持“单点修改”和“区间查询”的数据结构，修改和查询的时间复杂度为 log ⁡ n \log n logn 级别。

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【例 3】校门外的树（信息学奥赛一本通- P1537）原题来自：Vijos P1448校门外有很多树，学校决定在某个时刻在某一段种上一种树，保证任一时刻不会出现两段相同种类的树，现有两种操作：

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【例 2】数星星 Stars（信息学奥赛一本通- P1536）原题来自：Ural 1028天空中有一些星星，这些星星都在不同的位置，每个星星有个坐标。如果一个星星的左下方（包含正左和正下）有 k 颗星星，就说这颗星星是 k 级的。

《P5445 [APIO2019] 路灯》一辆自动驾驶的出租车正在 Innopolis 的街道上行驶。该街道上有 n+1 个停车站点，它们将街道划分成了 n 条路段。每一路段都拥有一个路灯。当第 i 个路灯亮起，它将照亮连接第 i 与第 i+1 个站点的路段。否则这条路段将是黑暗的。

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stars（树状数组）题目描述天文学家经常研究星图，其中星星用平面上的点表示，每个星星都有笛卡尔坐标。定义一个星星的等级为：在该星星的左下方（包括正左和正下）的星星数量。天文学家想要知道星星等级的分布情况。

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前缀和的前缀和对于一个长度为的序列，其前缀和为前个元素的和，即。而前缀和的前缀和就是把前缀和序列作为原序列，再求一次前缀和。记再次求得的前缀和序列的第位为

零基础薄纱树套树——高级数据结构的结合树套树，顾名思义就是在树里套一个树，这里的树是一种代称，它指的是可以高效的查询和修改的数据结构，比如分块，树状数组，线段树，平衡树，那么既然我们有了这些高效的数据结构我们为什么还要再往里面套一个呢，难道是因为不够高效吗？肯定不是。主要是因为无法解决问题，大多数情况下是因为维度不够，（想象一下，不管是分块，树状数组，线段树，平衡树，他们管理的都是一个一维的数组，也就是区间问题），如果问题是二维的，我们就需要升维，那自然而然，往一维里套一个一维不就是二维的吗。

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小陶的疑惑2解决了助教给出的第一个问题后，小陶对数据结构的兴趣被点燃了，他央求助教给他出了第二个问题：给出一个有n个元素的序列（n<=200000），进行m次操作，操作有两种类型：

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小陶与杠铃片小陶在举重队负责后勤工作。举重队的训练场中有一个区域一排码放了n片杠铃片，每天运动员们训练完之后会将杠铃片放回，之后小陶需要重新整理杠铃片的顺序，使它们由轻到重依次排好。由于杠铃片很重，小陶每次只能选两片相邻的杠铃片，交换它们的位置。现在小陶想知道，这一天他至少需要交换多少次才能整理完毕？

20260112树状数组总结树状数组是一种支持单点修改和区间查询码量低常数小的数据结构。任何数字都可以表示为不超过logn个2的幂次之和，例如7=4+2+1，这一特性就是树状数组的核心理论。

区间不同数的个数-树状数组/线段树/莫队/主席树本问题将使用如下数据结构树状数组维护当前数组出现的位置信息, 具体的来说因为 j j j指针只会走一次, 算法时间复杂度 O ( m log ⁡ n ) O(m \log n) O(mlogn)

进阶数据结构应用-线段树扫描线计算面积的并集类似于扫描的思想, 只要是 y y y不连续, 将面积从左到右做细分设 h 1 = t 0 + t 1 h_1= t_0 + t_1 h1=t0+t1, 同理 h 2 h_2 h2就是下一段的 x x x的差值, 那么总的覆盖面积就是 ∑ i = 1 n h i ⋅ ( y i − y i − 1 ) \sum _{i = 1} ^ n h_i \cdot (y_i - y_{i - 1}) i=1∑nhi⋅(yi−yi−1)

进阶数据结构应用-区间最大公约数两个操作因为涉及到区间修改和区间查询, 使用线段树线段树节点信息中需要存储如下信息对于当前区间 u u u, 左儿子是 x x x, 右儿子是 y y y, 那么当前区间的最大公约数等于 u . g c d = gcd ⁡ ( x . g c d , y . g c d ) u.gcd = \gcd(x.gcd, y.gcd) u.gcd=gcd(x.gcd,y.gcd)

进阶数据结构-FenwickTreel o w i t lowit lowit运算 l o w b i t ( x ) lowbit(x) lowbit(x)是取出 x x x作为二进制数的最后一位 1 1 1对应的十进制数字例如 l o w b i t ( 1 ) = 1 lowbit(1) = 1 lowbit(1)=1, l o w b i t ( 5 ) = 1 lowbit(5) = 1 lowbit(5)=1, l o w b i t ( 8 ) = 8 lowbit(8) = 8 lowbit(8)=8, l o w b i

基础数据结构应用-一个简单的整数问题区间修改, 单点查询但是树状数组只能支持单点修改, 单点查询因此可以求出原序列的差分序列, 假设原序列是 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n a_1, a_2, a_3, ..., a_n a1,a2,a3,...,an 求出差分序列 b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n b_1, b_2, b_3, ..., b_n b1,b2,b3,...,bn b 1 = a 1 − a 0 b_1 = a_1 - a_0 b1=a1−a0, b 2 = a 2 −

进阶数据结构应用-一个简单的整数问题2(Fenwick-Tree 解法)两个操作首先, 借用一个简单的整数问题思想, 在区间加法的情况下, 可以将原数组转化为差分数组, 进行区间修改操作

洛谷 P1438 无聊的数列题解题目链接：洛谷P1438 无聊的数列哈喽，大家好，我们又见面啦！今天我们来看洛谷P1438 无聊的数列。

UVa12389/LA5821 Cybercrime Donut Investigation本题是2011年icpc欧洲区域赛西南欧赛区的C题查询多个目标点与参考点集中最近点的曼哈顿距离。多组数组，每组数据的第一行是整数 n (1 ≤ n ≤ 100, 000)，表示参考点的数量。接下来 n 行每行两个整数表示各个参考点的坐标。接下来一行是整数 q (1 ≤ q ≤ 50, 000)，表示目标点的数量。接下来 q 行每行两个整数表示各个目标点的坐标。所有点的坐标 x , y x,\;y x,y 都满足 1 ≤ x , y ≤ 1 0 9 1 ≤ x,\;y ≤ 10^9 1≤x,y≤

【数据结构】树状数组假设一个数可以 x x x可以被二进制分解成 x = 2 i 1 + 2 i 2 + . . . + 2 i m x = 2^{i_1} + 2^{i_2} + ... + 2^{i_m} x=2i1+2i2+...+2im，不妨设 i 1 > i 2 > . . . > i m i_1 > i_2 > ... > i_m i1>i2>...>im，进一步地，区间 [ 1 , x ] [1, x] [1,x]可以分成 O ( l o g x ) O(log\ x) O(log x)个小区间：