如何把全局坐标系转到机器人本体坐标系

场景

假设某虚拟机器人 R v R_v Rv与跟随者机器人 R f R_f Rf位置关系如下:

全局坐标系
  • ( X )、( Y ):全局坐标系的坐标轴,( O ) 为全局坐标系原点,用于描述机器人在宏观环境中的位置与姿态。
跟随机器人( R f R_f Rf)
  • ( x_F )、( y_F ):跟随机器人本体坐标系的坐标轴,构成机器人自身的局部坐标系,用于定义机器人本体的方向(如前进方向、侧向方向)。
  • ( θ F \theta_F θF):跟随机器人线速度与水平方向的夹角.
虚拟机器人( R v R_v Rv)
  • ( x_V )、( y_V ):虚拟机器人在全局坐标系下的位置坐标,分别表示其在 ( X ) 轴和 ( Y ) 轴方向上的位置。
  • ( θ V \theta_V θV):虚拟机器人线速度与水平方向的夹角
  • ( R_V ) :代表虚拟机器人,虚线框表示其在全局坐标系中的形态与位置,通过 ( x_V )、( y_V ) 和 ( θ V \theta_V θV) 完整定义其在环境中的位姿。

则可通过:

cos ⁡ θ F sin ⁡ θ F 0 − sin ⁡ θ F cos ⁡ θ F 0 0 0 1 \] \[ x y z \] \\begin{bmatrix}\\cos\\theta_F\&\\sin\\theta_F\&0\\\\-\\sin\\theta_F\&\\cos\\theta_F\&0\\\\0\&0\&1\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}x\\\\y\\\\z\\end{bmatrix} cosθF−sinθF0sinθFcosθF0001 xyz 将全局坐标系下的位置关系转换到机器人本体坐标系。 ### 1. 旋转矩阵的几何意义 * 该矩阵是三维空间中绕 z z z 轴旋转 θ F \\theta_F θF 的变换矩阵。在机器人领域,全局坐标系(如世界坐标系)与本体坐标系的差异常体现在姿态(旋转角度)上。若机器人本体坐标系相对全局坐标系存在绕 z z z 轴的旋转(如机器人原地转向),此矩阵可精确描述这一旋转关系。 * 矩阵的列向量对应本体坐标系坐标轴在全局坐标系中的方向,例如: * 第一列 \[ cos ⁡ θ F − sin ⁡ θ F 0 \] \\begin{bmatrix} \\cos\\theta_F \\\\ -\\sin\\theta_F \\\\ 0 \\end{bmatrix} cosθF−sinθF0 表示本体坐标系 x x x 轴在全局坐标系中的投影; * 第二列 \[ sin ⁡ θ F cos ⁡ θ F 0 \] \\begin{bmatrix}\\sin\\theta_F\\\\\\cos\\theta_F\\\\0\\end{bmatrix} sinθFcosθF0 表示本体坐标系 y y y轴在全局坐标系中的投影; * 第三列 \[ 0 0 1 \] \\begin{bmatrix}0\\\\0\\\\1\\end{bmatrix} 001 说明 z z z轴方向在两个坐标系中一致(若有 z z z轴旋转,需更复杂矩阵)。 ### 2.坐标变换的数学逻辑 * 对全局坐标系下的点 P 全局 = \[ x y z \] \\boldsymbol{P}_\\text{全局}=\\begin{bmatrix}x\\\\y\\\\z\\end{bmatrix} P全局= xyz ,用该矩阵变换后得到 P 本体 \\boldsymbol{P}_\\text{本体} P本体: P 本体 = \[ cos ⁡ θ F sin ⁡ θ F 0 − sin ⁡ θ F cos ⁡ θ F 0 0 0 1 \] \[ x y z \] = \[ x cos ⁡ θ F + y sin ⁡ θ F − x sin ⁡ θ F + y cos ⁡ θ F z \] . \\boldsymbol{P}_\\text{本体}=\\begin{bmatrix}\\cos\\theta_F\&\\sin\\theta_F\&0\\\\-\\sin\\theta_F\&\\cos\\theta_F\&0\\\\0\&0\&1\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}x\\\\y\\\\z\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}x\\cos\\theta_F+y\\sin\\theta_F\\\\-x\\sin\\theta_F+y\\cos\\theta_F\\\\z\\end{bmatrix}. P本体= cosθF−sinθF0sinθFcosθF0001 xyz = xcosθF+ysinθF−xsinθF+ycosθFz . 这一过程通过旋转 x − y x-y x−y平面的坐标,使全局坐标系的方向与机器人本体坐标系的 x − y x-y x−y平面方向对齐,而 z z z坐标保持不变(若存在平移,需额外补充平移向量)。 因此,当机器人本体坐标系相对全局坐标系仅存在绕 z z z轴的旋转时,该矩阵可通过数学上的旋转变换,将全局坐标系下的位置关系转换到机器人本体坐标系。

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