场景
假设某虚拟机器人 R v R_v Rv与跟随者机器人 R f R_f Rf位置关系如下：
全局坐标系
- ( X )、( Y )：全局坐标系的坐标轴，( O ) 为全局坐标系原点，用于描述机器人在宏观环境中的位置与姿态。
跟随机器人（ R f R_f Rf）
- ( x_F )、( y_F )：跟随机器人本体坐标系的坐标轴，构成机器人自身的局部坐标系，用于定义机器人本体的方向（如前进方向、侧向方向）。
- ( θ F \theta_F θF)：跟随机器人线速度与水平方向的夹角.
虚拟机器人（ R v R_v Rv）
- ( x_V )、( y_V )：虚拟机器人在全局坐标系下的位置坐标，分别表示其在 ( X ) 轴和 ( Y ) 轴方向上的位置。
- ( θ V \theta_V θV)：虚拟机器人线速度与水平方向的夹角
- ( R_V ) ：代表虚拟机器人，虚线框表示其在全局坐标系中的形态与位置，通过 ( x_V )、( y_V ) 和 ( θ V \theta_V θV) 完整定义其在环境中的位姿。
则可通过：
cos θ F sin θ F 0 − sin θ F cos θ F 0 0 0 1 x y z \begin{bmatrix}\cos\theta_F&\sin\theta_F&0\\-\sin\theta_F&\cos\theta_F&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} cosθF−sinθF0sinθFcosθF0001 xyz
将全局坐标系下的位置关系转换到机器人本体坐标系。
1. 旋转矩阵的几何意义
- 该矩阵是三维空间中绕 z z z 轴旋转 θ F \theta_F θF 的变换矩阵。在机器人领域，全局坐标系（如世界坐标系）与本体坐标系的差异常体现在姿态（旋转角度）上。若机器人本体坐标系相对全局坐标系存在绕 z z z 轴的旋转（如机器人原地转向），此矩阵可精确描述这一旋转关系。
- 矩阵的列向量对应本体坐标系坐标轴在全局坐标系中的方向，例如：
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第一列 cos θ F − sin θ F 0 \begin{bmatrix} \cos\theta_F \\ -\sin\theta_F \\ 0 \end{bmatrix} cosθF−sinθF0 表示本体坐标系 x x x 轴在全局坐标系中的投影；
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第二列 sin θ F cos θ F 0 \begin{bmatrix}\sin\theta_F\\\cos\theta_F\\0\end{bmatrix} sinθFcosθF0 表示本体坐标系 y y y轴在全局坐标系中的投影；
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第三列 0 0 1 \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} 001 说明 z z z轴方向在两个坐标系中一致（若有 z z z轴旋转，需更复杂矩阵）。
-
2.坐标变换的数学逻辑
- 对全局坐标系下的点 P 全局 = x y z \boldsymbol{P}\text{全局}=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} P全局= xyz ，用该矩阵变换后得到 P 本体 \boldsymbol{P}\text{本体} P本体：
P 本体 = cos θ F sin θ F 0 − sin θ F cos θ F 0 0 0 1 x y z = x cos θ F + y sin θ F − x sin θ F + y cos θ F z . \boldsymbol{P}_\text{本体}=\begin{bmatrix}\cos\theta_F&\sin\theta_F&0\\-\sin\theta_F&\cos\theta_F&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\cos\theta_F+y\sin\theta_F\\-x\sin\theta_F+y\cos\theta_F\\z\end{bmatrix}. P本体= cosθF−sinθF0sinθFcosθF0001 xyz = xcosθF+ysinθF−xsinθF+ycosθFz .
这一过程通过旋转 x − y x-y x−y平面的坐标，使全局坐标系的方向与机器人本体坐标系的 x − y x-y x−y平面方向对齐，而 z z z坐标保持不变（若存在平移，需额外补充平移向量）。
因此，当机器人本体坐标系相对全局坐标系仅存在绕 z z z轴的旋转时，该矩阵可通过数学上的旋转变换，将全局坐标系下的位置关系转换到机器人本体坐标系。