【算法】动态规划：回文子串问题、两个数组的dp

小羊在奋斗2025-03-26 20:16

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回文子串问题

回文子串

定义 dp[i][j] 表示以i位置元素为头，j位置元素为尾的回文子串，i <= j，要特别注意填表顺序。

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
        int ret = 0;
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
        {
            for (int j = i; j < n; j++)
            {
                if (s[i] == s[j])
                    dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;
                if (dp[i][j]) ret++;
            }
        }
        return ret;
    }
};

最长回文子串

一边填dp表，一边统计最长的回文子串。

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
        int begin = 0, len = 1;
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
            for (int j = i; j < n; j++)
            {
                if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;
                if (dp[i][j] && j - i + 1 > len) 
                {
                    len = j - i + 1;
                    begin = i;
                }
            }
        return s.substr(begin, len);
    }
};

分割回文串 IV

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    bool checkPartitioning(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
            for (int j = i; j < n; j++)
                if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;
        for (int i = 0; i < n - 1; i++)
            for (int j = 0; j < n - 1; j++)
                if (dp[0][i] && dp[i + 1][j] && dp[j + 1][n - 1])
                    return true;
        return false;
    }
};

分割回文串 II *

定义状态 dp[i] 表示0-i区间符合要求的最少分割次数。

如果 j - i 是回文子串，则 dp[i] = dp[j - 1] + 1；后面的+1表示分割一次。

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    int minCut(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<bool>> isPal(n, vector<bool>(n));
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
            for (int j = i; j < n; j++)
                if (s[i] == s[j]) isPal[i][j] = i + 1 < j ? isPal[i + 1][j - 1] : true;
        vector<int> dp(n, INT_MAX);
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            if (isPal[0][i]) dp[i] = 0;
            else
            {
                for (int j = 1; j <= i; j++)
                    if (isPal[j][i])
                        dp[i] = min(dp[j - 1] + 1, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
};

最长回文子序列

定义状态 dp[i][j] 表示区间 i到j 范围内的所有子序列中，最长回文子序列的长度。

当首尾两个元素「相同」的时候，也就是s[i] == s[j] ：那么[i, j] 区间上的最长回文子序列，应该是[i + 1, j - 1] 区间内的那个最长回文子序列首尾填上s[i] 和s[j] ，此时dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2.

当 s[i] != s[j] 时： dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j])。

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
        {
            dp[i][i] = 1;
            for (int j = i + 1; j < n; j++)
            {
                if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                else dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);
            }
        }
        return dp[0][n - 1];
    }
};

让字符串成为回文串的最少插入次数

定义状态 dp[i][j] 表示让i到j区间称为回文串的最小插入次数。


i == j 时不用考虑，在初始化dp表的时候其中的值默认为0，所以直接在 j = i + 1 处开始遍历；i + 1 == j 可以放在 i + 1 < j 中，因为 dp[i + 1][j - 1] 访问的是 i + 1 == j 的左下角，这个位置刚好用不到，默认也为0。

当 s[i] != s[j] 时，我们假定在i的左边插入一个s[j]，或在j的右边插入一个s[i]，然后就可以在 dp[i][j - 1] 或 dp[i + 1][j] 中找最小操作次数。

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    int minInsertions(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
        {
            for (int j = i + 1; j < n; j++)
                if (s[i] == s[j]) dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
                else dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
        }
        return dp[0][n - 1];
    }
};

两个数组的dp

最长公共子序列

定义状态 dp[i][j] 为s1的[0, i]区间和s2的[0, j]区间中所有的子序列中，最长公共子序列的长度。

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        int m = text1.size(), n = text2.size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                if (text1[i-1] == text2[j-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

不相交的线

说白了我白说了，这就是 "最长公共子序列"。

我是程序猿，我可以作证，代码一模一样。

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int m = nums1.size(), n = nums2.size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                if (nums1[i-1] == nums2[j-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

不同的子序列

dp[i][j] 表示s的[0, j]区间中所有的子序列 中有多少个t的[0, j]区间的子串。

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        const int mod = 1e9 + 7;
        int m = t.size(), n = s.size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        for (int i = 0; i < n; i++) dp[0][i] = 1;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                dp[i][j] = dp[i][j - 1];
                if (s[j - 1] == t[i - 1])
                    dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - 1]) % mod;
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

通配符匹配 *

dp[i][j] 表示 p[0, j] 内的子串能否匹配 s[0, i] 内的子串。

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    bool isMatch(string s, string p) {
        int m = s.size(), n = p.size();
        // 对应下标
        s = ' ' + s;
        p = ' ' + p;
        vector<vector<bool>> dp(m + 1, vector<bool>(n + 1));

        // 初始化空串的情况
        dp[0][0] = true;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            if (p[i] == '*') dp[0][i] = true;
            else break;

        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                if (p[j] == '*') dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i][j - 1];
                else dp[i][j] = (p[j] == '?' || s[i] == p[j]) && dp[i - 1][j - 1];

        return dp[m][n];
    }
};

正则表达式匹配

定义状态 dp[i][j] 表示 p[0, j] 区间内的子串能否匹配 s[0, i] 区间内的子串。

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    bool isMatch(string s, string p) {
        int m = s.size(), n = p.size();
        // 对应下标
        s = ' ' + s;
        p = ' ' + p;
        vector<vector<bool>> dp(m + 1, vector<bool>(n + 1));

        // 初始化空串的情况
        dp[0][0] = true;
        for (int i = 2; i <= n; i += 2)
            if (p[i] == '*') dp[0][i] = true;
            else break;

        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                if (p[j] == '*') 
                    dp[i][j] = dp[i][j-2] || ((s[i] == p[j-1] || p[j-1] == '.') && dp[i-1][j]);
                else
                    dp[i][j] = (s[i] == p[j] || p[j] == '.') && dp[i-1][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

交错字符串

定义状态 dp[i, j] 表示 s1[0, i] 区间内的字符串和 s2[0, j] 区间内的字符串能否拼接成 s3[0, i + j] 区间内的字符串。

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    bool isInterleave(string s1, string s2, string s3) {
        int m = s1.size(), n = s2.size();
        if (m + n != s3.size()) return false;
        s1 = ' ' + s1, s2 = ' ' + s2, s3 = ' ' + s3;

        vector<vector<bool>> dp(m + 1, vector<bool>(n + 1));
        dp[0][0] = true;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            if (s2[i] == s3[i]) dp[0][i] = true;
            else break;
        for (int i = 0; i <= m; i++)
            if (s1[i] == s3[i]) dp[i][0] = true;
            else break;
        
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = (s1[i] == s3[i + j] && dp[i - 1][j]) 
                            || (s2[j] == s3[i + j] && dp[i][j - 1]);
        return dp[m][n];
    }
};

两个字符串的最小ASCII删除和

实际就是求两个字符串的最长公共子序列的ASCII码和。

定义状态 dp[i][j] 表示s1[0, i]区间和s2[0, j]区间内的所有子序列中，最长公共子序列的ASCII码和。

对于初始化dp表，当s1为空串或s2为空串时，dp[0][i] 和 dp[j][0] 都为0。

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    int minimumDeleteSum(string s1, string s2) {
        int m = s1.size(), n = s2.size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                if (s1[i - 1] == s2[j - 1])
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + s1[i - 1]);
            }
        }
        int sum = 0;
        for (char ch : s1) sum += ch;
        for (char ch : s2) sum += ch;
        return sum - dp[m][n] - dp[m][n];
    }
};

最长重复子数组

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int m = nums1.size(), n = nums2.size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        int ret = 0;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1])
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                ret = max(ret, dp[i][j]);
            }
        }
        return ret;
    }
};

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