优选算法系列（4.前缀和 _下） k

解法二（前缀和）：

设 i 为数组中的任意位置，用sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和。
想知道有多少个「以 i 为结尾的和为 k 的子数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2, x3... 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和为 k 。那么 [0, x] 区间内的和是不是就是 sum[i] - k 了。
于是问题就变成：

找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和等于 sum[i] - k 的即可。

我们不用真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关心在 i 位置之前，有多少个前缀和等于
sum[i] - k 。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边存下之前每⼀种
前缀和出现的次数。

代码：

C++：

java：

六：和可被 K 整除的子数组（medium）

题目链接：974. 和可被 K 整除的子数组 - 力扣（LeetCode）

（本题是某一年的蓝桥杯竞赛原题）

解法：

前置知识：

同余定理

如果 (a - b) % n == 0 ，那么我们可以得到⼀个结论： a % n == b % n 。⽤文字叙述就是，如果两个数相减的差能被 n 整除，那么这两个数对 n 取模的结果相同。
例如： (26 - 2) % 12 == 0 ，那么 26 % 12 == 2 % 12 == 2 。

c++ 中负数取模的结果，以及如何修正「负数取模」的结果

a. c++ 中关于负数的取模运算，结果是「把负数当成正数，取模之后的结果加上⼀个负号」。
例如： -1 % 3 = -(1 % 3) = -1
b. 因为有负数，为了防⽌发⽣「出现负数」的结果，以 (a % n + n) % n 的形式输出保证为正。
例如： -1 % 3 = (-1 % 3 + 3) % 3 = 2
算法思路：
思路与上道题的思路相似。
设 i 为数组中的任意位置，用 sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和。
想知道有多少个「以 i 为结尾的可被 k 整除的子数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2, x3... 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和可被 k 整除。
设 [0, x - 1] 区间内所有元素之和等于 a ， [0, i] 区间内所有元素的和等于 b ，可得
(b - a) % k == 0 。
由同余定理可得， [0, x - 1] 区间与 [0, i] 区间内的前缀和同余。于是问题就变成：

找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和的余数等于 sum[i] % k 的即可。

我们不用真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关心在 i 位置之前，有多少个前缀和等于
sum[i] - k 。因此，我们仅需用⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边存下之前每⼀种前
缀和出现的次数。

代码：

C++：

java：

七：连续数组（medium）

题目链接：525. 连续数组 - 力扣（LeetCode）

解法：

稍微转化⼀下题目，就会变成我们熟悉的题：
本题让我们找出⼀段连续的区间， 0 和 1 出现的次数相同。
如果将 0 记为 -1 ， 1 记为 1 ，问题就变成了找出⼀段区间，这段区间的和等于 0 。
于是，就和 560. 和为 K 的子数组这道题的思路⼀样
设 i 为数组中的任意位置，⽤ sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和。
想知道最⼤的「以 i 为结尾的和为 0 的子 0数1组」，就要找到从左往右第⼀个 x1 使得 [x1, i]
区间内的所有元素的和为 0 。那么 [0, x1 - 1] 区间内的和是不是就是 sum[i] 了。于是问题
就变成：
找到在 [0, i - 1] 区间内，第⼀次出现 sum[i] 的位置即可。
我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在 i 位置之前，第⼀个前缀和等于 sum[i]
的位置。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边记录第⼀次出现该前缀和的
位置。

代码：

C++：

java：

八：矩阵区域和（medium）

题目链接：1314. 矩阵区域和 - 力扣（LeetCode）

解法：

⼆维前缀和的简单应用题，关键就是我们在填写结果矩阵的时候，要找到原矩阵对应区域的「左上
角」以及「右下角」的坐标（推荐画图）

回顾：

左上⻆坐标： x1 = i - k，y1 = j - k ，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对 0 取⼀个 max 。因此修正后的坐标为： x1 = max(0, i - k), y1 = max(0, j - k) ;

右下⻆坐标： x1 = i + k，y1 = j + k ，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对 m - 1 ，以及 n - 1 取⼀个 min 。因此修正后的坐标为： x2 = min(m - 1, i + k) , y2 = min(n - 1, j + k) 。

然后将求出来的坐标代入到「二维前缀和矩阵」的计算公式上即可~（但是要注意下标的映射关
系）

代码：

C++：

java：