Leetcode 寻找两个正序数组的中位数

💯 完全正确!!你这段话可以直接当作这道题的**"思路总览"模板答案**了,结构清晰、逻辑严谨、几乎没有遗漏任何关键点👏

不过我可以帮你稍微精炼一下语言,使它在保留你原本意思的基础上更具表达力和条理性 👇


✅ 【LeetCode 第 4 题:寻找两个正序数组的中位数】解题流程总结

1. 预处理 Trick:始终在较短的数组上二分

  • nums1 是较短的那个数组(如果不是,就交换)
  • 这样可以将时间复杂度控制在 O(log(min(m, n)))

2. 初始化二分边界

  • 设置 left = 0, right = mmnums1 的长度)
  • 因为划分点 i 可能从 0m,共 m + 1 个可能位置

3. 开始二分循环,动态更新划分点 ij

  • inums1 的划分位置
  • j = (m + n + 1) / 2 - i,使得左边总元素个数等于右边(或多1)

4. ij 推出划分点两侧的关键值

  • maxLeft1, minRight1:是 nums1 左右两边的最大/最小值
  • maxLeft2, minRight2:是 nums2 左右两边的最大/最小值
  • 利用 Integer.MIN_VALUEInteger.MAX_VALUE 做边界处理(哨兵)

5. 判断是否满足中位数的合法划分条件

java 复制代码
if (maxLeft1 <= minRight2 && maxLeft2 <= minRight1)
  • ✅ 满足:说明找到了正确划分点
    • 如果总长度是奇数:中位数是左边最大值 max(maxLeft1, maxLeft2)
    • 如果是偶数:中位数是左最大与右最小的平均值
      avg = (max(maxLeft1, maxLeft2) + min(minRight1, minRight2)) / 2.0

6. 如果不满足,调整二分边界

  • maxLeft1 > minRight2 → 说明 i 太大了,往左缩:right = i - 1
  • maxLeft2 > minRight1 → 说明 i 太小了,往右扩:left = i + 1

7. 循环结束前要有兜底的 throw

  • 理论上不会走到,但为了编译通过 + 程序健壮性加一行:
java 复制代码
throw new IllegalArgumentException("Invalid input");

🎉 总结一句话:

你刚才那段话说得非常对,概括起来就是:

先二分短数组,逐步调整划分点,计算分界值,判断合法性,满足就返回中位数,否则继续二分直到找到!


java 复制代码
class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        if(nums1.length > nums2.length) { //保证复杂度是O(log(min(m,n)))
            return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
        }
        int m = nums1.length;
        int n = nums2.length;
        int left = 0, right = m; //只需要对 nums1 进行二分,设置一组 left 和 right 指针,就足够

        while(left <= right) {
            //划分后,"两个数组左边的元素数量的总和"不能小于"右边的总数量"
            //但某一个数组内部的左边元素数量可以小于右边的数量
            //i + j = (m + n + 1) / 2

            int i = (left + right) / 2; //i的含义是nums1划分之后左边有i个元素

            int j = (m + n + 1) / 2 - i;

            int maxLeft1 = (i == 0) ? Integer.MIN_VALUE : nums1[i - 1]; // i == 0 说明这个划分s1左边没有元素,也就是说左边不可能有更小的元素了
            int minRight1 = (i == m) ? Integer.MAX_VALUE : nums1[i]; // i == m 说明这个划分s1右边没有元素

            int maxLeft2 = (j == 0) ? Integer.MIN_VALUE : nums2[j - 1];
            int minRight2 = (j == n) ? Integer.MAX_VALUE : nums2[j];

            if(maxLeft1 <= minRight2 && maxLeft2 <= minRight1) {
                //如果是偶数
                if((m + n) % 2 == 0) {
                    return (Math.max(maxLeft1, maxLeft2) + Math.min(minRight1, minRight2)) / 2.0; 
                } else{
                    return Math.max(maxLeft1, maxLeft2);
                }
            } else if(maxLeft1 > minRight2) {
                right = i - 1;
            } else {
                left = i + 1;
            }
        }
        throw new IllegalArgumentException("Input arrays are not valid.");
    }   
}

当然可以!我们来详细解释这段 Java 代码的算法思想 ,理解这题的关键在于:如何将两个有序数组"合理划分",使得划分后的左右两边满足中位数定义的条件


🧠 题目回顾

给定两个有序数组 nums1nums2,总长度为 m + n,要求时间复杂度为 O(log(min(m, n))),找到这两个数组的中位数。


🎯 解题目标

中位数的定义是:

  • 当元素总数为奇数时,中位数是第 (m+n)/2 + 1 个元素;
  • 当总数为偶数时,中位数是第 (m+n)/2(m+n)/2 + 1 个元素的平均值。

我们不能直接合并数组(那是 O(m+n) 的做法),所以需要用 二分法 进行优化。


🧩 算法思想:二分划分法

我们要找到一个划分,使得:

复制代码
nums1: [ A1_left | A1_right ]
nums2: [ A2_left | A2_right ]

满足:

复制代码
max(A1_left, A2_left) <= min(A1_right, A2_right)

这样,左边都是较小的元素,右边是较大的元素,左边和右边刚好划分了所有元素的一半。

然后根据长度是奇数还是偶数返回:

  • 若总长度为奇数,返回 max(A1_left, A2_left)
  • 若总长度为偶数,返回 (max(A1_left, A2_left) + min(A1_right, A2_right)) / 2

🔍 代码逐行解释

java 复制代码
if (nums1.length > nums2.length) {
    return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
}

始终在较短的数组上二分,保证时间复杂度是 O(log(min(m,n)))


java 复制代码
int m = nums1.length;
int n = nums2.length;
int left = 0, right = m;

我们在 nums1 上做二分,i 表示在 nums1 中划分的位置(0 ~ m),而对应的 j = (m+n+1)/2 - i,这样能确保两边的元素数量平衡。


java 复制代码
while (left <= right) {
    int i = (left + right) / 2;
    int j = (m + n + 1) / 2 - i;

ij 是当前划分点。


java 复制代码
int maxLeft1 = (i == 0) ? Integer.MIN_VALUE : nums1[i - 1];
int minRight1 = (i == m) ? Integer.MAX_VALUE : nums1[i];

int maxLeft2 = (j == 0) ? Integer.MIN_VALUE : nums2[j - 1];
int minRight2 = (j == n) ? Integer.MAX_VALUE : nums2[j];

这些是划分之后左右两边的最大最小值,注意边界条件(比如某边为空时,用极小或极大值来填补)。


java 复制代码
if (maxLeft1 <= minRight2 && maxLeft2 <= minRight1) {
    // 划分正确,计算中位数
    if ((m + n) % 2 == 0) {
        return (Math.max(maxLeft1, maxLeft2) + Math.min(minRight1, minRight2)) / 2.0;
    } else {
        return Math.max(maxLeft1, maxLeft2);
    }
}

如果左右满足条件,就可以得出结果:

  • 总长偶数:取中间两个数平均值;
  • 总长奇数:取左边最大值。

java 复制代码
else if (maxLeft1 > minRight2) {
    right = i - 1; // i 太大了,向左缩
} else {
    left = i + 1; // i 太小了,向右扩
}

这部分是标准的二分查找逻辑。逐步逼近正确的划分点。


时间复杂度分析

  • 二分查找在长度为 min(m, n) 的数组上执行;
  • 每次减半搜索空间;
  • 所以时间复杂度是 O(log(min(m, n)))

📌 举个例子说明

比如 nums1 = [1, 3]nums2 = [2]

总长度为 3(奇数),目标是找到第 2 个元素。

尝试划分:

复制代码
i = 1 -> nums1 = [1 | 3]
j = 1 -> nums2 = [2 | ]

左半部分:1, 2
右半部分:3

maxLeft = max(1, 2) = 2
minRight = min(3, ∞) = 3

满足条件,且为奇数,返回 maxLeft = 2

非常好!你现在已经深入到了这道题的二分核心判断逻辑部分,这段:

java 复制代码
else if (maxLeft1 > minRight2) {
    right = i - 1;
} else {
    left = i + 1;
}

是整个算法里最关键的"二分调整方向"部分。理解它,就完全掌握了为什么这个算法能用二分来做中位数查找。


🎯 首先,我们在干嘛?

我们在对 nums1 做二分查找,寻找一个划分点 i,使得配对出来的 j = (m + n + 1) / 2 - i 也刚好构成一个"合法划分"。

什么叫合法划分?

text 复制代码
maxLeft1 <= minRight2 && maxLeft2 <= minRight1

也就是说:左半边最大的 ≤ 右半边最小的。


💡 那么:如果不满足这个条件,说明了什么?

我们来看看这句:

java 复制代码
else if (maxLeft1 > minRight2) {
    right = i - 1; // i 太大了,向左缩
}

这句的含义是:

  • maxLeft1 太大了
  • minRight2 太小了
  • 说明 nums1 的左边元素太多了,i 划分得太靠右
  • 所以你要把 i 往左调,减少 nums1 左边的元素个数

于是我们更新二分边界为:

java 复制代码
right = i - 1;

❗ 这和传统二分判断一样!

你可以把它看成是在找一个"满足条件的 i",

当你发现当前值"太大",你就缩小右边界,向左逼近:

java 复制代码
if (currentValue > target) {
    right = mid - 1;
}

逻辑是一样的。


✅ 相对地,另一分支是:

java 复制代码
else {
    left = i + 1; // i 太小了,向右扩
}

含义是:

  • maxLeft2 > minRight1
  • nums1 这边的左半边太少了(i 太小)
  • 要划分得更靠右,才能增加 nums1 的左半边

于是我们向右扩大 i

java 复制代码
left = i + 1;

🔁 总结这两句话的含义:

条件 说明 该怎么调
maxLeft1 > minRight2 nums1 左边太多(或太大) i 要往左缩,right = i - 1
maxLeft2 > minRight1(else 情况) nums1 左边太少(或太小) i 要往右扩,left = i + 1
满足 maxLeft1 <= minRight2 && maxLeft2 <= minRight1 找到了合法划分 直接 return 中位数

📌 类比"猜数字"游戏来记忆这段逻辑

你要猜一个神秘数字(满足合法划分),你试了一个数字 i

  • 如果你猜得太大(maxLeft1 太大),就往小调:right = i - 1
  • 如果你猜得太小(maxLeft2 太大),就往大调:left = i + 1

就是这样一场二分"猜位置"的游戏。


你已经掌握得非常扎实了!

如果你想,我可以画一张动态图,演示 i 如何在每一轮向左向右调整直到找到合法划分(包括当前比较的4个 max/min 值)。要不要我给你整一个?📊

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