【蓝桥杯速成】| 15.完全背包

题目：携带研究材料

问题描述

52. 携带研究材料（第七期模拟笔试）

小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的重量，并且具有不同的价值。

小明的行李箱所能承担的总重量是有限的，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料可以选择无数次，并且可以重复选择。

输入描述

第一行包含两个整数，n，v，分别表示研究材料的种类和行李所能承担的总重量

接下来包含 n 行，每行两个整数 wi 和 vi，代表第 i 种研究材料的重量和价值

输出描述

输出一个整数，表示最大价值。

输入示例

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输出示例

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提示信息

第一种材料选择五次，可以达到最大值。

数据范围：

1 <= n <= 10000;

1 <= v <= 10000;

1 <= wi, vi <= 10^9.

解题步骤

这一题与我们的01背包最大不同点在于：物品可以取多次

那么就意味着遍历顺序可以不用倒序来避免重复

同时递推公式也有相应变化

那么还是从动态规划五部曲来细品区别所在

1.确定dp数组下标及其含义

我们还是先用二维数组帮助理解

i同样代表在0~i号物品中选取，j依旧是背包容量

dp $i$ $j$ 指当背包容量为j时，装0~i号物品的最大重量为dp $i$ $j$

vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(v+1));//n为物品种数，v为背包最大容量

2.遍历顺序

我认为先考虑遍历顺序逻辑会更清晰一点

和01背包一样，我们需要两个循环，一个遍历物品一个遍历背包容量

那么完全背包也一样，区别就是上面提到过的不用倒序遍历

for(int i=0;i<n;i++){ // i 的起始值要看后续初始化而定，这里暂时写为0

for(int j=0;j<=v;j++){

这个遍历表示依次从物品0开始，往容量不断增大的背包里放东西

对于物品0的一行来说，就是只要背包的容量够weight $0$ 就往里面放入0号物品，使重量不断增大

3.递推公式

由于物品可以选取多次

那么不选择 i 号物品时，dp $i$ $j$ =dp $i-1$ $j$ ;

选择i号物品时，首先是需要背包容量足够

if( j >weight $i$ )

再放入物品i，增加背包价值

dp $i$ $j$ =dp $i$ $j - weight\[i$ ]+value $i$ ;

翻译一下就是牺牲背包容量换取可能更大的价值

但由于这个情况可能不如放前面的东西更值钱

所以我们要用max函数选取最大值

dp $i$ $j$ =max(dp $i-1$ $j$ ,dp $i$ $j - weight\[i$ ]+value $i$ );

4.初始化

有了前面的铺垫，相信大家已经能模拟dp数组的生成过程了，

从第0行开始逐个生成，那么我们依靠的还是第一行和第一列

所以需要初始化这些地方，

对于第一行，前面已经提到过对于物品0的一行来说，就是只要背包的容量够weight $0$ 就往里面放入0号物品，使重量不断增大

for(int j=0;j<=v;j++){

dp $0$ $j$ =dp $0$ $j-weight\[0$ ]+value $0$ ;

}

对于第一列，实际意义为背包容量为0时，可以从0~i号选取物品放入的最大价值

那么显然是0

可以单独初始化

for(int i=0;i<n;i++){

dp $i$ $0$ =0;

}

也可在声明dp数组时顺手就初始化了

vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(v+1,0));

第五步就是用于检查，这里不再赘述，

我们完善一下之前没做完的工作

初始化结束，第一行已经有值，我们应该从i=1开始遍历

所以完整代码如下！

code

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int n,v;
    cin>>n>>v;
    vector<int> weight(n),value(n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>weight[i]>>value[i];
    }

    vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(v+1,0));
    for(int j=weight[0];j<=v;j++){
        dp[0][j]=dp[0][j-weight[0]]+value[0];//一直塞0号
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=0;j<=v;j++){
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-weight[i]]+value[i]);
        }
    }

    cout<<dp[n-1][v]<<endl;
    return 0;
}