题目：携带研究材料
问题描述
小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的重量，并且具有不同的价值。
小明的行李箱所能承担的总重量是有限的，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料可以选择无数次，并且可以重复选择。
输入描述
第一行包含两个整数，n，v，分别表示研究材料的种类和行李所能承担的总重量
接下来包含 n 行，每行两个整数 wi 和 vi，代表第 i 种研究材料的重量和价值
输出描述
输出一个整数，表示最大价值。
输入示例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5输出示例
10提示信息
第一种材料选择五次，可以达到最大值。
数据范围：
1 <= n <= 10000;
1 <= v <= 10000;
1 <= wi, vi <= 10^9.
解题步骤
这一题与我们的01背包最大不同点在于：物品可以取多次
那么就意味着遍历顺序可以不用倒序来避免重复
同时递推公式也有相应变化
那么还是从动态规划五部曲来细品区别所在
1.确定dp数组下标及其含义
我们还是先用二维数组帮助理解
i同样代表在0~i号物品中选取，j依旧是背包容量
dp[i][j]指当背包容量为j时，装0~i号物品的最大重量为dp[i][j]
vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(v+1));//n为物品种数，v为背包最大容量
2.遍历顺序
我认为先考虑遍历顺序逻辑会更清晰一点
和01背包一样，我们需要两个循环，一个遍历物品一个遍历背包容量
那么完全背包也一样，区别就是上面提到过的不用倒序遍历
for(int i=0;i<n;i++){ // i 的起始值要看后续初始化而定，这里暂时写为0
for(int j=0;j<=v;j++){
这个遍历表示依次从物品0开始，往容量不断增大的背包里放东西
对于物品0的一行来说，就是只要背包的容量够weight[0]就往里面放入0号物品，使重量不断增大
3.递推公式
由于物品可以选取多次
那么不选择 i 号物品时，dp[ i ][ j ]=dp[ i-1 ][ j ];
选择i号物品时，首先是需要背包容量足够
if( j >weight[ i ])
再放入物品i，增加背包价值
dp[ i ][ j ]=dp[ i ][ j - weight[i] ]+value[ i ];
翻译一下就是牺牲背包容量换取可能更大的价值
但由于这个情况可能不如放前面的东西更值钱
所以我们要用max函数选取最大值
dp[ i ][ j ]=max(dp[ i-1 ][ j ],dp[ i ][ j - weight[i] ]+value[ i ]);
4.初始化
有了前面的铺垫，相信大家已经能模拟dp数组的生成过程了，
从第0行开始逐个生成，那么我们依靠的还是第一行和第一列
所以需要初始化这些地方，
对于第一行，前面已经提到过对于物品0的一行来说，就是只要背包的容量够weight[0]就往里面放入0号物品，使重量不断增大
for(int j=0;j<=v;j++){
dp[0][j]=dp[0][j-weight[0]]+value[0];
}
对于第一列，实际意义为背包容量为0时，可以从0~i号选取物品放入的最大价值
那么显然是0
可以单独初始化
for(int i=0;i<n;i++){
dp[i][0]=0;
}
也可在声明dp数组时顺手就初始化了
vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(v+1,0));
第五步就是用于检查，这里不再赘述，
我们完善一下之前没做完的工作
初始化结束，第一行已经有值，我们应该从i=1开始遍历
所以完整代码如下！
code
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
int n,v;
cin>>n>>v;
vector<int> weight(n),value(n);
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>weight[i]>>value[i];
}
vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(v+1,0));
for(int j=weight[0];j<=v;j++){
dp[0][j]=dp[0][j-weight[0]]+value[0];//一直塞0号
}
for(int i=1;i<n;i++){
for(int j=0;j<=v;j++){
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-weight[i]]+value[i]);
}
}
cout<<dp[n-1][v]<<endl;
return 0;
}