数据结构和算法——汉诺塔问题

前言

先讲个故事,传说古代印度有三根黄金柱,64个石盘,需要将石盘从第一根移动到第三根上,规定每次只能移动一片,并且小盘在放置时必须在大盘上。

当石盘移动完毕时,世界就会毁灭。

汉诺塔------递归

接下来我们用程序来模拟这个移动过程,并计算世界毁灭需要的时间。

这里使用的策略就是递归

我们将黄金柱编号为A,B,C,我们首先需要将A柱最底层的64号大石盘移动到C柱上,那么我们可以认为有一个大力士,将63号以及之前的石盘已经被放在了B柱上。B柱是辅助柱。这时,我们就可以轻松将A柱剩下的一个最大的64号石盘放到C柱上,此时我们完成了第一步。

同理,假设64号石盘已经被放在了C柱上,63号石盘此刻也需要被放在C柱上,我们也能认为,有一个大力士将62号以及之前的石盘已经被放在了B柱上。以此类推。

我们不用管大力士是如何做到的,我们每次只需要将最后一块相对最大的石盘放到C柱上就行了。这就是每一次移动石盘最终的目的。

所以,每次在C柱上能够正常进行叠放的最后一步都是,一个单独的石盘等着被放在C柱上,我们轻松的将64号,63号,62号...1号放到C柱上

而实际上,大力士是我们递归的自己,这个又该怎么理解呢?

用python写就是这样

复制代码
def hanoiTower(n,source,auxiliary,target):
    # 如果就剩下最后一块,那么直接叠放到目标柱上,需要注意的是,目标柱并不是不变的,会变成辅助柱,因为搬运过程中,进入子递归,会把辅助柱当做目标柱,大力士需要先把63块之前的所有石盘放到辅助柱上
    # 每次迭代,都将最后一块设定为终极目标,搬完最后一块就表明最后一个小任务完成了
    if n==1:
        print(f"{n}号石盘搬运:{source}-->{target}")
    else:
        #大力士将n-1块石盘从源头柱放到辅助柱,这样最底层的石盘就暴露了出来
        # 将n-1个盘子从源柱移动到辅助柱(此时辅助柱成为子问题的目标柱)
        hanoiTower(n-1, source, target, auxiliary)
        print(f"{n}号石盘搬运:{source}-->{target}")
        # 大力士将n-1块石盘从辅助柱放到目标柱,就算之前的任务完成了
        # 将n-1个盘子从辅助柱移动到目标柱(此时源柱成为子问题的辅助柱)
        hanoiTower(n-1, auxiliary,source, target )
hanoiTower(3,"A","B","C")

1号石盘搬运:A-->C
2号石盘搬运:A-->B
1号石盘搬运:C-->B
3号石盘搬运:A-->C
1号石盘搬运:B-->A
2号石盘搬运:B-->C
1号石盘搬运:A-->C

计算时间复杂度,空间复杂度,距离世界毁灭剩余的时间

每次任务分解,都是两次移动n-1个盘子和一次移动单个盘子

因此T=2T(n-1)+1
根据实际情况可以将其展开,递归到第二次时T=2
(2T(n-2)+1)+1
递归第三次时T=2
(2*(2*T(n-3)+1))+1

一次类推展开,可以知道n=1时,就是递归结束的时候,此时T(1)=1

T=2^n-1

时间复杂度为O(2^n)

空间复杂度:

处理n个盘子时,递归调用链为n,n-1,n-2,n-3...1,最大深度所以为n,空间复杂度为O(n)

那么根据传说,算出来2^64时间长度为11698.8483亿年,这个时间说是宇宙末日,确实有可信度。

毕竟1万亿年以后的超人僧侣,1s就能抬起巨石将圆盘准确无误的放到C黄金柱上,本宇宙汉诺塔也新修建完毕,宇宙终于再次放起了烟花,大爆炸开始了。

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