老数学带我们走到这儿。但它扛不过接下来的风暴。
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一套求生工具，不是什么天神赐福
尽管几百年来我们在现实问题上已经取得不少进展，但我们现在教数学的方式，还是像它是从天上传下来的，而不是人类在解决自己时代的现实难题时，亲手打造、重构、再利用出来的。在那些所谓"硬科学"里，神话故事和柏拉图式的理念早就被踢出课堂了。但数学呢？我们还是太常把它当成永恒不变的真理来教。
我们老是忘了，数学其实就跟化学或生物一样 ------ 是实证主义底子、为了解决现实问题而设计出来的学问 ------ 是工具，不是宇宙默示录。
你想要证据？
17 世纪那会儿，全球经济靠船吃饭。海上贸易就是命根子。各国争着抢香料、黄金和土地；但想拿到手，唯一办法就是冒着生命危险横跨大洋。纬度？简单 ------ 测太阳或星星就行。经度？要命。没有精准时钟（虽然后来 John Harrison 的航海计时器确实登场了），船员就没法知道自己东西方向到底漂多远。猜错了？那你可能直接消失在海上。
这种压力逼出了发明。
John Napier 给航海员送上了一条命线：对数表，把无尽的乘法变成加法。他在纸上造了个类比计算工具 ------ 节省时间、减少错误。
然后 Isaac Newton 上场，解决下一个大麻烦：行星运动。
想追踪在椭圆轨道上加速运行的物体，平均数根本不够看。
你得测每一刻的变化。所以他发明了微积分，不是为了写诗，而是为了解决航海、天文和运动的问题。
这可不是为数学而数学。
这是为求生而生的数学。
图 1 每个世纪的产业都变了样：从航海导航，到推动蒸汽活塞，到连通电报线路。但数学的"杠杆"作用始终没变：始终能贡献大概 25--35% 的经济增长。
来源： The Lever of Riches, Power and Progress, Industry and Empire
注： 图片为公共领域（CC0），可自由使用。
Newton 的发明 ------ 微积分 ------ 跟 Napier 的对数表一样，推动了精密天文图表的产生：也就是随时间变化的天体运动图。
在还没有航海计时器的年代，这些图表就是导航的命根子。它们让船员能用月距法推算海上经度，预测潮汐，帮船只在靠近陌生海岸时避开灾难。
就跟 Napier 一样，Newton 不是在召唤某个柏拉图神灵。
他是在用数学当引擎 ------ 一个测量、绘图、生存的工具。
（还记得那句 "Hypotheses non fingo" 吧？）
这些东西不是永恒真理。
它们是工具 ------ 被迫在现实中烧出来的。
因为一旦没了精准度，船只失踪、经济停摆、帝国解体。
讲到这里，你应该已经明白了：数学不是从庙里出来的。它来自作战室、船甲板、蒸汽机房。
而这种模式一直在重复 ------
在 17 世纪、18 世纪、19 世纪、20 世纪，如下表所示。
而且对 ------ 没有剧透 ------ 现在又一次轮到了。
表 1 史上最牛的数学家可不只是理论派 ------ 他们都是工具匠。他们发明的数学器具，都是他们那个时代急需的。
来源： MathHistory
你看得出来吧，我们说的这个规律很明显：
放眼历史，数学一直既是我们成功的杠杆 ------ 也是我们风险的锋刃。（对，就是那句老话：能力越大，责任越大。）
而数学始终是那个力量背后的倍增器。
- Euler 在帮帝国造更准的炮和更强的桥。
- Gauss 把烂泥地变成几何，重塑了我们丈量地球的方式。
- Fourier 只是想搞懂热量怎么在铁块里流 ------ 给拿破仑的军工厂供能。
- Laplace 预测行星轨道，让船别漂偏。
- Quetelet 用数据帮政府设计城市、监狱、学校。
- Maxwell 用方程连通 19 世纪 ------ 电报、电灯通通靠他。
而在英国，工业革命正在升温 ------
要不是数学放大了它的能量，那也就只是个地方试验。
- Joule 测了热的机械等价。
- Kelvin 定了绝对温标。
两人联手，把热力学变成了工程师能用的家伙 ------ 推动蒸汽机，打造新世界的钢铁骨架。
所以你看到的这一切：他们不是在追求永恒真理；
他们是在现实中解决问题，现场打仗。
当然，也确实有少数数学家一直只做纯数学 ------ 但连那些所谓"纯数学"最后都往往被拿来解决实际问题（比如数论 → 密码学）
而现在比以前更明显了：
数学不只是个辅助工具 ------ 它是每一个主要经济体的骨架。
我们常以为，革命是从钢火花、蒸汽引擎或电子电路开始的。但仔细看，你会发现有个更微妙的幕后英雄：方程、抽象、隐形结构。数学不是机器里的机油 ------ 它是把整台机器拧出来的扳手。
每一个新经济时代，都不是从金属开始的，而是从意义开始 ------ 从人脑中诞生。从公式出发，而不是从工厂。从数学里的梦，而不是图纸。
数学的进化方式跟我们一样：不是为了真理，而是为了打破极限。
就像生物进化不是为了完美，而是为了重用已有的东西（羽毛最开始是保温用的，后来才飞），数学也是一样。它不是靠神启，而是靠不断适应新情境。
再说一次那个对数的例子。17 世纪发明它的时候，它一点也不神秘。它就是个求生工具，帮航海员和工程师把痛苦的乘法换成可以忍的加法。不是哲学，是干活的数学。
今天没人再翻对数表 ------ 但对数无处不在：
- 在图论里，对数描述网络怎么分支和扩展。
- 在复杂度分析里，它用来捕捉算法的深度。
- 在密码学里，离散对数定义了守护数字基础设施的"难题"。
是的，它们还是指数的反函数，但重点早就不是这个了。
它们已经变成了现代计算核心的结构元件。像羽毛一样，功能变了，样子还在（最早有羽毛的恐龙不会飞，它们只是用来保暖）。
图 2 数学演化的常见模式？把旧工具换个场景重新定义。对数最初是为省乘法发明的，在信息时代却变成了密码学、复杂性理论和网络建模的结构工具。
来源： ReadingFeynman, HistoryOfMathAndTech, ChoppingLogs, MAA
微分法的故事也一样。
它曾是物理、建筑、经济和早期航空的推动力，现在，它被交给机器来用数值方法自动解大型方程。
但更深的转变，其实是概念上的。
今天的函数不再只是两个变量间的连续曲线。多亏 Alonzo Church 的 lambda 演算，后来发展成范畴论和函数式编程，函数已经变身为：
- 数据结构之间的映射
- 过滤噪声的筛子
- 把复杂性折叠成清晰度的折叠器
函数现在可以吃掉另一个函数、嵌套运行，并在带类型系统下根据代数规则操作。
它们不仅描述变化，它们执行变化。
它们会组合，会处理异常（像 monad 一样）还能不让整个系统崩掉。
现在数学就活在这里：不再是永恒形式，而是适应压力、人类创造力和必要性演化出来的结构。
别再学那个已经逝去世界的数学了：重构它，为认知革命而生
你能读到这里，说明你已经领先一大步了。
现在你有个选择：继续靠熟悉的"安全数学" ------ 基本微积分、线性方程、那些课本里的东西 ------ 还是跳进一个新世界，把这些基础重构、拓展，真正掌控 AI？当然，这不意味着扔掉微积分或线性代数；而是要从更高的视角去攻克它们。（比如你会在函数组合方式中看到导数和积分的回声。）
重点不是丢弃旧数学；而是让它进化。
因为故事的核心在这：AI 不会替代这些前沿、人类打造出来的数学结构。它反而得靠这些，靠理解这些的人，才能继续超越自己。
所以问问自己：你是只想用 AI，还是想塑造 AI ------ 安全的、有创造力的、并且走在它前头？
你想设计尖峰神经网络、可组合的处理管道，还是做些连现在最强的机器也搞不定的元优化？这是你运用范畴论、图论洞见、全局优化，以及整个抽象工具箱的大好时机 ------ 来提升当下有限、受限的 AI 技术的稳定性和能力。
别让那些浮夸的热潮吓到你。
这些新数学概念是可以学会的 ------ 通常只需要把你已经知道的数学重新学一遍，用一个新的、应用为导向的结构去学（见下方表 2）。
迈出那一步。学点 AI 还搞不定的数学。那才是真正突破的所在 ------
也是你在万物可替时代里，确保自己不可替代的方式。
表 2 现今最重要的数学工具大多还只在学术小圈子里打转 ------ 但对下一代技术人员、科学家和工程师来说却至关重要。在科技行业，掌握这些现代数学，也许是你逃过传统软硬件岗位裁员潮的唯一出路。
注： 图片为公共领域（CC0），可自由使用
新硬件：柔性印刷智能 ------ 当 AI 电路不再是代码
所以，当你把 AI 软件打磨到家了，别停 ------ 数学革命一路烧到了硬件底层。
有个新前沿正快速展开：可重构硬件，专为人工尖峰神经网络（ASNN）打造，灵感来自大脑那种超高效、低功耗架构。
不是在别人芯片上跑模型，而是自己造电路。想想 FPGA：现场可编程门阵列，你不是写 Python，而是自己连逻辑块。
这可不是你奶奶那一代的编程。这需要组合数学、图论、拓扑学，和你以前只在教科书角落见过的数学。现在，它们在推动 AI 硬件的下一跳。
为啥这重要？
因为当你从电路层设计 ASNN，你就绕开了旧的瓶颈 ------ 打造出透明的、快得飞起的、功耗超低的系统，是 CPU 和 GPU 都比不了的。
这就是 AI 的未来：
不是跑模型。是造出模型本身的机器。
AI 硬件设计必备数学工具
要是你已经准备好进入这个前线，那以下这些数学工具你必须有。你熟悉的"老派"工具现在全都焕然一新 ------ 注入前沿代数和范畴论。结果就是：硬件设计变得更动态、更可扩展，甚至 ------ 为啥不？------ 更聪明。准备好造未来的"大脑"，不只是跑代码。
想试试这些升级版经典？比如 Karnaugh 图、图与电路最小化、布尔代数与开关理论、自动机理论与状态机、组合优化。是的，你以前教科书里可能看过，但相信我：它们可不再是你记忆中的"训练轮"了。加上范畴论和代数的最新理解，它们已经变成下一代 AI 硬件的神器 ------ 能搞定尖峰神经网络、重构 FPGA，甚至更多。（详见下方表 3。）
表 3 认知技术革命正在模糊软件与硬件的边界。今天的工程师必须同时掌握编程、电路设计与高级数学 ------ 甚至在同一个岗位里 ------ 才能在这个传统分工不再适用的行业中保住一席之地。
注： 图片为公共领域（CC0），可自由使用
总结一下... AI 仍然需要人类的数学脑子
所以如果你担心自己会被取代，不妨专注在数学的抽象层面。抽象越深，机器越难模仿你的洞见。那才是真正的突破点 ------ 那是我们定义新世界视角的地方，不只是优化旧世界的地方。