$R^n$超平面约束下的向量列

原向量: x → \overset{\rightarrow}{x} x→

与 x → \overset{\rightarrow}{x} x→法向相同的法向量(与 x → \overset{\rightarrow}{x} x→同向) ( x → ⋅ n → ∣ n → ∣ 2 ) n → (\frac{\overset{\rightarrow}x\cdot\overset{\rightarrow}n}{|\overset\rightarrow n|^2})\overset\rightarrow n (∣n→∣2x→⋅n→)n→(即原向量在法向的投影)

投影到超平面的向量 x → − ( x → ⋅ n → ∣ n → ∣ 2 ) n → \overset{\rightarrow}{x}-(\frac{\overset{\rightarrow}x\cdot\overset{\rightarrow}n}{|\overset\rightarrow n|^2})\overset\rightarrow n x→−(∣n→∣2x→⋅n→)n→(与 x → \overset{\rightarrow}{x} x→同向)

(就是一个向量三角形)

比如 x → = ( x 1 , ⋯ x n ) \overset{\rightarrow}{x}=(x_1,\cdots x_n) x→=(x1,⋯xn),梯度约束在 x 1 + ⋯ + x n = 1 x_1+\cdots+x_n=1 x1+⋯+xn=1中,那么

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grad = list(map(lambda x: x-tf.reshape(tf.reshape(x, [1,-1])@tf.ones([x.shape[0],1]),[])/(x.shape[0])*tf.ones([x.shape[0]]), grad))

要做一次投影,让梯度也满足约束,从而当初始点满足约束时,这样使用梯度下降可以使得点列一直满足约束

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