1. 逆琼斯矩阵问题
逆琼斯矩阵方法常用于逆向补偿由光学系统或传输信道（如光纤）引入的偏振态（SOP, State of Polarization）畸变。
1.1 琼斯向量
任意偏振光可用二维复数向量表示：
E = [ E x E y ] = [ ∣ E x ∣ e i ϕ x ∣ E y ∣ e i ϕ y ] \mathbf{E} = \begin{bmatrix} E_x\\ E_y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} |E_x|e^{i\phi_x}\\ |E_y|e^{i\phi_y} \end{bmatrix} E=[ExEy]=[∣Ex∣eiϕx∣Ey∣eiϕy]
其中， E x E_x Ex和 E y E_y Ey是光电场在 x x x和 y y y方向上的分量， ϕ x \phi_x ϕx和 ϕ y \phi_y ϕy是相位。
1.2 琼斯矩阵
光学器件（如偏振片、波片）或传输信道（如光纤）对偏振态的影响可用 2x2复数矩阵表示：
J = [ J x x J x y J y x J y y ] \mathbf{J} = \begin{bmatrix} J_{xx} & J_{xy}\\ J_{yx} & J_{yy} \end{bmatrix} J=[JxxJyxJxyJyy]
输入光 E i n \boldsymbol{E}{in} Ein经过系统后变为
E o u t = J E i n \boldsymbol{E}{out}=\boldsymbol{J}\boldsymbol{E}_{in} Eout=JEin
琼斯矩阵的逆矩阵 J − 1 \boldsymbol{J}^{-1} J−1满足
J − 1 J = J J − 1 = I \boldsymbol{J}^{-1}\boldsymbol{J}=\boldsymbol{J}\boldsymbol{J}^{-1}=\boldsymbol{I} J−1J=JJ−1=I
所以逆琼斯矩阵可以用于抵消信道的偏振畸变，恢复原始信号
E o r i g i n a l = J − 1 E r e c e i v e d \boldsymbol{E}{original}=\boldsymbol{J}^{-1}\boldsymbol{E}{received} Eoriginal=J−1Ereceived
1.3 动态信道中逆琼斯矩阵的计算
在光纤通信中，信道琼斯矩阵 J ( t ) \boldsymbol{J}(t) J(t)偏振模色散、环境扰动等因素的影响，而实时发生变化。为此，需要实时估计逆琼斯矩阵以跟踪信道变化。常用的方法包括：
（1）基于训练序列的估计
该方法发送已知偏振态的训练信号，通过接收信号反向计算 J − 1 \boldsymbol{J}^{-1} J−1。该方法会占用带宽降低传输效率。
(2) 盲自适应算法
以恒模算法为例，假设逛信号幅度恒定，通过迭代调整逆矩阵系数以最小化误差
J − 1 ( k + 1 ) = J − 1 ( k ) + μ e ( k ) E ∗ ( k ) \boldsymbol{J}^{-1}(k+1)=\boldsymbol{J}^{-1}(k)+\mu\boldsymbol{e}(k)\boldsymbol{E}^{*}(k) J−1(k+1)=J−1(k)+μe(k)E∗(k)
2. MIMO算法在相干光中的应用
2.1 MIMO算法的作用
在单模光纤中，光信号存在两个正交偏振态。由于光纤的双折射效应和动态扰动(如温度变化、机械震动等)，这两个偏振态会发生随机耦合，导致接收端无法区分原始信号。类似地，在多模光纤或少模光纤中，不同空间模式也会相互干扰。MIMO算法就是是为了解决偏振复用(PDM)和多模传输带来的信号混叠问题。其核心思想是通过数字均衡技术，逆向估计信道传输矩阵(如琼斯矩阵或模式耦合矩阵)，在接收端对混合的偏振或模式信号进行分离和均衡。
2.2 MIMO算法应用的信号模型
发送端： 发送两路独立信号(如X/Y偏振或不同模式) s ( t ) = [ s x ( t ) , s y ( t ) ] T \boldsymbol{s}(t)=[s_x(t),s_y(t)]^T s(t)=[sx(t),sy(t)]T
信道效应: 光纤引入的偏振/模式混合和损伤可用矩阵 H ( t ) \boldsymbol{H}(t) H(t)表示(如2x2琼斯矩阵)，则接收端接收到的信号为（不考虑噪声）
r ( t ) = H ( t ) s ( t ) \boldsymbol{r}(t)=\boldsymbol{H}(t)\boldsymbol{s}(t) r(t)=H(t)s(t)
接收端: 采用自适应MIMO均衡器(通常为FIR滤波器结构)，输入是两路偏振信号 r x ( t ) r_x(t) rx(t)和 r y ( t ) r_y(t) ry(t)，输出是分离后的两路信号 s ^ x ( t ) \hat{s}_x(t) s^x(t)和 s ^ y ( t ) \hat{s}_y(t) s^y(t)。显然：
s \^ x s \^ y \] = W \[ r x ( t ) r y ( t ) \] \\begin{bmatrix} \\hat{s}_x\\\\ \\hat{s}_y \\end{bmatrix}= \\boldsymbol{W}\\begin{bmatrix} r_x(t)\\\\ r_y(t) \\end{bmatrix} \[s\^xs\^y\]=W\[rx(t)ry(t)
其中， W \boldsymbol{W} W是均衡器权重矩阵，需要利用自适应均衡算法动态调整以逼近 H − 1 \boldsymbol{H}^{-1} H−1。