Java 逐梦力扣之旅_[204. 计数质数]

题目:

204. 计数质数

给定整数 n ，返回 所有小于非负整数 n 的质数的数量 。

示例 1：

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输入：n = 10
输出：4
解释：小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。

示例 2：

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输入：n = 0
输出：0

示例 3：

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输入：n = 1
输出：0

提示：

0 <= n <= 5 * 10⁶

方法一：暴力法（不推荐，仅作演示）

时间复杂度 ：O(n√n)
空间复杂度：O(1)

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public class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        if (n <= 2) return 0;
        int count = 0;
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            if (isPrime(i)) count++;
        }
        return count;
    }
    
    private boolean isPrime(int num) {
        if (num <= 1) return false;
        for (int i = 2; i * i <= num; i++) {
            if (num % i == 0) return false;
        }
        return true;
    }
}

方法二：埃拉托斯特尼筛法（基础版）

时间复杂度 ：O(n log log n)
空间复杂度：O(n)

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import java.util.Arrays;

public class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        if (n <= 2) return 0;
        boolean[] isPrime = new boolean[n];
        Arrays.fill(isPrime, true);
        isPrime[0] = isPrime[1] = false;
        for (int i = 2; i * i < n; i++) {
            if (isPrime[i]) {
                for (int j = i * i; j < n; j += i) {
                    isPrime[j] = false;
                }
            }
        }
        int count = 0;
        for (boolean b : isPrime) {
            if (b) count++;
        }
        return count;
    }
}

方法三：埃氏筛优化版（跳过偶数）

时间复杂度 ：O(n log log n)
空间复杂度：O(n)

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import java.util.Arrays;

public class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        if (n <= 2) return 0;
        boolean[] isPrime = new boolean[n];
        Arrays.fill(isPrime, true);
        isPrime[0] = isPrime[1] = false;
        // 处理偶数
        for (int i = 4; i < n; i += 2) isPrime[i] = false;
        // 处理奇数
        for (int i = 3; i * i < n; i += 2) {
            if (isPrime[i]) {
                for (int j = i * i; j < n; j += 2 * i) {
                    isPrime[j] = false;
                }
            }
        }
        int count = 0;
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            if (isPrime[i]) count++;
        }
        return count;
    }
}

方法四：欧拉筛（线性筛）

时间复杂度 ：O(n)
空间复杂度：O(n)

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import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Solution {
    public int countPrimes(int n) {
        if (n <= 2) return 0;
        List<Integer> primes = new ArrayList<>();
        boolean[] isComposite = new boolean[n];
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            if (!isComposite[i]) primes.add(i);
            for (int j = 0; j < primes.size() && i * primes.get(j) < n; j++) {
                isComposite[i * primes.get(j)] = true;
                if (i % primes.get(j) == 0) break;
            }
        }
        return primes.size();
    }
}

方法分析

暴力法 ：逐个检查每个数是否为质数，时间复杂度高，仅适用于极小的 n。
埃氏筛：通过标记质数的倍数筛选合数，时间复杂度较低，适合大多数场景。
优化埃氏筛：跳过偶数处理，减少冗余操作，提高实际运行效率。
欧拉筛 ：每个合数仅被标记一次，时间复杂度最优，但实现稍复杂，适用于极大 n。

根据需求选择合适的方法：推荐使用埃氏筛（方法二或三）作为通用解法，欧拉筛（方法四）在处理极大 n 时性能更优。