数据结构——二叉树

二叉树在树中是一种特殊的结构，二叉树又有好几种，完全二叉树、满二叉树等·····

二叉树的概念及结构

树的特点

二叉树的性质

二叉树的概念及结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集体。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点

除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i

<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

因此，树是递归定义的。

注意：在树形结构中，子集之间不能有交点，否则就不可以称之位树形结构。

树的特点

节点的度 ：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6
叶节点或终端节点 ：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点 ：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点 ：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点 ：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点 ：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点
树的度 ：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6
节点的层次 ：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度 ：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4
堂兄弟节点 ：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先 ：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有个结点.

若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 .

对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有＝＋1

若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= . (ps：是log以2

为底，n+1为对数)

对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对

于序号为i的结点有：

若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子

若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

二叉树的存储结构

二叉树一般可以用两种结构来存储，一种是顺序结构，另一种是链式结构。

顺序结构

顺序结构就是用数组来存储，一般使用数组存储只适用完全二叉树，如果不是完全二叉树就会有空间浪费。

链式结构

链式结构是指，用链表来表示一颗二叉树，即用链表来表示元素的逻辑关系。

cs 复制代码

typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;//结点数据
	struct BinaryTreeNode* left;//存储左孩子的地址
	struct BinaryTreeNode* right;//存储右孩子的地址
}BTNode;

创建一颗树

cs 复制代码

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{
	BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (node == NULL)
	{
		perror("malloc");
	}
	node->data = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;
	return node;
}
int main()
{
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(3);
	BTNode* node4 = BuyNode(4);
	BTNode* node5 = BuyNode(5);
	BTNode* node6 = BuyNode(6);
	//BTNode* node7 = BuyNode(7);

	node1->left = node2;
	node1->right = node4;
	node2->left = node3;
	node4->left = node5;
	node4->right = node6;
    return 0;
}

创建六个结点，使用malloc函数来开辟空间，大小为一个结构体类型，通过BuyNode函数来初始化

结点，之后我们自己链接，想怎么样链接看自己，上面代码链接后的结构：

树的遍历

树的遍历有前序遍历、中序遍历、后序遍历、以及层序遍历。

前序遍历

前序遍历也叫根序遍历，就是先遍历根结点，再遍历左结点，最后遍历右结点，一般使用递归来遍历：

代码展示：

cs 复制代码

void PreOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%d ", root->data);
	PreOrder(root->left);
	PreOrder(root->right);
}

这里把为空的结点也打印出来了，进入函数，先判断该结点是否为空，为空就返回，不为空就打印该结点的值，接着进入下一个函数，传该结点的左孩子，循环往复，直到遇到空就返回上一个函数，进入函数传结点的右孩子，最后回到一开始的头结点，再去遍历该头结点的右孩子。

运行结果：

这就是创建一棵树后对其前序遍历的结果。

中序遍历

中序遍历是先遍历左结点，再遍历根结点，最后遍历右结点。

代码展示：

cs 复制代码

void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PreOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	PreOrder(root->right);
}

和前序遍历基本一模一样，只是遍历顺序变了。

直接看结果：

后序遍历

后序遍历是先遍历左结点，，再遍历右结点，最后遍历根结点。

代码展示：

cs 复制代码

void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PreOrder(root->left);
	PreOrder(root->right);
	printf("%d ", root->data);
}

运行结果：

层序遍历

层序遍历是从头结点开始依次遍历，在树中如何做到依次遍历呢？单单靠树做不到依次遍历，我们需要用到队列，队列的特点是"先进先出"，我们可以利用这个特点来实现树的层序遍历。

思路：第一步先把头结点入队，第二步出队再把出队的左右结点入队，循环往复，直到队列为空就停止。

也可以用这个思路来判断一颗树是否为完全二叉树。

cs 复制代码

void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueInit(&q);
	if (root)
		QuePush(&q,root);
	while (!QueJuS(&q))
	{
		BTNode* front = QueTop(&q);
		QuePop(&q);
		printf("%d ", front->data);
		if (front->left)
			QuePush(&q, front->left);
		if (front->right)
			QuePush(&q, front->right);
	}
	QueDestroy(&q);
	printf("\n");
}

这里要注意的是创建队列的类型，队列里存储的是一个结点，所以类型为该树的类型。

树的结点个数计算

代码展示：

cs 复制代码

int Sizetree(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	int sizeleft = Sizetree(root->left);
	int sizeright = Sizetree(root->right);
	 return sizeleft + sizeright + 1;
}

运行结果：