快速幂
理论
a n = a × a × ⋯ × a a^n = a × a × \cdots × a an=a×a×⋯×a，暴力的计算需要 O(n) 的时间。
快速幂 使用二进制拆分和倍增思想，仅需要 O(logn) 的时间。
对 n 做二进制拆分，例如， 3 13 = 3 ( 1101 ) 2 = 3 8 ⋅ 3 4 ⋅ 3 1 3^{13} = 3^{(1101)_2} = 3^8 \cdot 3^4 \cdot 3^1 313=3(1101)2=38⋅34⋅31，
对 a 做平方倍增，例如， 3 1 , 3 2 , 3 4 , 3 8 ⋯ ⋯ 3^1, 3^2, 3^4, 3^8 \cdots\cdots 31,32,34,38⋯⋯。
n 有 logn + 1个二进制位，知道了 a 1 , a 2 , a 4 , a 8 , ⋯ , a 2 logn a^1, a^2, a^4, a^8, \cdots, a^{2^{\text{logn}}} a1,a2,a4,a8,⋯,a2logn后，只需要计算 logn + 1 次乘法就可以了。
快速幂 可以应用在任何具有结合律 的运算中，例如，取模运算 、矩阵乘法等。
例如， ( 3 13 ) % p = ( ( 3 8 ) % p ⋅ ( 3 4 ) % p ⋅ ( 3 1 ) % p ) % p (3^{13})\%p = ((3^8)\%p \cdot (3^4)\%p \cdot (3^1)\%p)\%p (313)%p=((38)%p⋅(34)%p⋅(31)%p)%p
模板
cpp
int quickpow(int a, int n) {
int res = 1;
while (n) {
if (n & 1) {
res = res * a;
}
a = a * a;
n >>= 1;
}
return res;
}例题
P1226 【模板】快速幂
题目描述
给你三个整数 a , b , p a,b,p a,b,p，求 a b m o d p a^b \bmod p abmodp。
输入格式
输入只有一行三个整数，分别代表 a , b , p a,b,p a,b,p。
输出格式
输出一行一个字符串 a^b mod p=s，其中 a , b , p a,b,p a,b,p 分别为题目给定的值， s s s 为运算结果。
输入输出样例 #1
输入 #1
2 10 9输出 #1
2^10 mod 9=7说明/提示
样例解释
2 10 = 1024 2^{10} = 1024 210=1024， 1024 m o d 9 = 7 1024 \bmod 9 = 7 1024mod9=7。
数据规模与约定
对于 100 % 100\% 100% 的数据，保证 0 ≤ a , b < 2 31 0\le a,b < 2^{31} 0≤a,b<231， a + b > 0 a+b>0 a+b>0， 2 ≤ p < 2 31 2 \leq p \lt 2^{31} 2≤p<231。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int quickpow(long long a, long long b, long long p) {
int res = 1;
while (b) {
if (b & 1) {
res = res * a % p;
}
a = a * a % p;
b >>= 1;
}
return res;
}
int main() {
long long a, b, p;
cin >> a >> b >> p;
cout << a << "^" << b << " mod " << p << "=" << quickpow(a, b, p);
return 0;
}理论
同余式
如果两整数a, b模m的余数相同，则称a, b模m同余，记为a ≡ b (mod m) 。例：8 ≡ 2 (mod 3)
乘法逆元
若a, b互质，且满足同余方程ax ≡ 1 (mod b)，则称x为a模b的乘法逆元，记作a⁻¹
例：8x ≡ 1 (mod 5)，解得x = 2, 7, 12...
费马小定理
若p为质数，且a, p互质，则a^(p - 1) ≡ 1 (mod p)
例：4^(3 - 1) ≡ 1 (mod 3)
证明
构造一个与p互质的序列A = {1, 2, 3, ..., p - 1}，现在来证明：∏(i = 1)^(p - 1) a × Ai ≡ ∏(i = 1)^(p - 1) Ai (mod p)
每个a × Ai (mod p)的余数必是独一无二 的，且a × Ai (mod p) < p ，则必与Ai (mod p)的余数集合相同。故得证。
所以a^(p - 1) × ∏(i = 1)^(p - 1) Ai ≡ ∏(i = 1)^(p - 1) Ai (mod p) 。证毕。
例：p = 5, A = {1, 2, 3, 4}, a = 2。
则aA = {2, 4, 6, 8}, aA%p = {2, 4, 1, 3}, A%p = {1, 2, 3, 4}
例题
给两个数a, p，p是质数，求a模p的乘法逆元
由费马小定理
a^(p - 1) ≡ 1 (mod p)，得 a × a^(p - 2) ≡ 1 (mod p)，
所以a^(p - 2) 就是a模p的乘法逆元。
用快速幂求即可。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a, p;
int quickpow(int a, int b, int p) {
int res = 1;
while (b) {
if (b & 1) {
res = res * a % p;
}
a = a * a % p;
b >>= 1;
}
return res;
}
int main() {
cin >> a >> p;
if (a % p) {
printf("%d\n", quickpow(a, p - 2, p));
}
return 0;
}