如果想看运动学标定可以看看 机器人运动学参数标定, 一次性把运动学参数和零位标定等一起标定求解.
1. 零位标定
零位标定是机器人运动学标定中的一个重要步骤，其目的是校正机器人关节的初始位置误差。以下是需要进行零位标定的主要原因：
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制造误差
- 在机器人制造过程中，关节传感器（如编码器）和机械零件的安装可能存在微小的偏差。
- 这些偏差会导致关节的零位（初始位置）与理论值不一致，从而影响运动学计算的准确性。
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装配误差
- 机器人在组装过程中，关节和连杆之间的对齐可能存在误差。
- 这些误差会导致正运动学和逆运动学计算的结果与实际位置不符。
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传感器误差
- 编码器或其他位置传感器可能存在零点漂移或校准误差。
- 零位标定可以校正这些传感器的初始偏差。
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提高运动精度
- 零位偏差会累积到机器人运动的末端位置，导致末端执行器无法准确到达目标位置。
- 通过零位标定，可以显著提高机器人末端的定位精度。
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确保一致性
- 在多次启动或不同环境下，零位可能会发生轻微变化。
- 零位标定可以确保机器人在不同时间和环境下的运动一致性。
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运动学模型的准确性
- 机器人控制依赖于精确的运动学模型（正运动学和逆运动学）。
- 零位标定是运动学模型校正的重要部分，确保理论模型与实际机器人一致。
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避免累积误差
- 零位偏差会导致关节角度的计算误差，这些误差在多关节运动中会累积，影响整体运动精度。
- 零位标定可以有效减少这种累积误差。
2. 零位标定思路
假设有一个针尖基准点，令机器人末端对准针尖基准点，则实际末端位置可以表示为：
p → r e a l = p → f k + J ⋅ ϕ → \overrightarrow{p}^{real} = \overrightarrow{p}^{fk} + J \cdot \overrightarrow{\phi} p real=p fk+J⋅ϕ
其中：
- p → r e a l \overrightarrow{p}^{real} p real 是实际末端位置。
- p → f k \overrightarrow{p}^{fk} p fk 是通过正运动学计算得到的理论末端位置。
- J J J 是雅可比矩阵，表示关节角度对末端位置的偏导数。
- ϕ → \overrightarrow{\phi} ϕ 是零位偏差向量。
通过改变机器人姿态，记录两组不同的末端位置和关节角度，得到以下关系：
p → 1 f k + J 1 ⋅ ϕ → = p → 2 f k + J 2 ⋅ ϕ → \overrightarrow{p}^{fk}_1 + J_1 \cdot \overrightarrow{\phi} = \overrightarrow{p}^{fk}_2 + J_2 \cdot \overrightarrow{\phi} p 1fk+J1⋅ϕ =p 2fk+J2⋅ϕ
目标是求解零位偏差 ϕ → \overrightarrow{\phi} ϕ，使上述等式成立。
3. 零位偏差计算方法及算法流程
3.1 数据采集
- 选取多个测量点（例如 n n n 个）。
- 记录每个测量点的关节角度和实际末端位置。
3.2 误差模型
对于每个测量点，误差可以表示为：
Δ p → i = p → i r e a l − p → i f k = J i ⋅ ϕ → \Delta \overrightarrow{p}_i = \overrightarrow{p}^{real}_i - \overrightarrow{p}^{fk}_i = J_i \cdot \overrightarrow{\phi} Δp i=p ireal−p ifk=Ji⋅ϕ
将所有测量点的误差组合成矩阵形式：
Y = B ⋅ ϕ → Y = B \cdot \overrightarrow{\phi} Y=B⋅ϕ
其中：
- Y Y Y 是误差向量， Y = [ Δ p → 1 , Δ p → 2 , ... , Δ p → n ] T Y = [\Delta \overrightarrow{p}_1, \Delta \overrightarrow{p}_2, \dots, \Delta \overrightarrow{p}_n]^T Y=[Δp 1,Δp 2,...,Δp n]T。
- B B B 是雅可比矩阵的组合， B = [ J 1 , J 2 , ... , J n ] T B = [J_1, J_2, \dots, J_n]^T B=[J1,J2,...,Jn]T。
3.3 最小二乘法求解
通过最小化误差的平方和，求解零位偏差 ϕ → \overrightarrow{\phi} ϕ：
ϕ → = ( B T ⋅ B ) − 1 ⋅ B T ⋅ Y \overrightarrow{\phi} = (B^T \cdot B)^{-1} \cdot B^T \cdot Y ϕ =(BT⋅B)−1⋅BT⋅Y
4. Python 实现代码
以下是一个简单的 Python 实现：
python
import numpy as np
np.set_printoptions(5, suppress=True)
# 示例数据：雅可比矩阵 B 和误差向量 Y
B = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]) # 雅可比矩阵 (3x2)
Y = np.array([1, 2, 3]) # 误差向量 (3x1)
# 计算零位偏差 φ
BT = B.T # B 的转置
phi = np.linalg.inv(BT @ B) @ BT @ Y # 最小二乘法公式
print("零位偏差 φ:", phi)
python
零位偏差 φ: [0. 0.5]5. 注意事项
- 矩阵维度匹配 ：确保矩阵 B B B 的行数与误差向量 Y Y Y 的长度一致。
- 矩阵可逆性 ：矩阵 ( B T ⋅ B ) (B^T \cdot B) (BT⋅B) 必须是可逆的。如果不可逆，可以使用伪逆方法：
python
phi = np.linalg.pinv(B) @ Y- 数据精度：测量数据应尽量精确，以减少误差。
通过上述公式和代码，可以使用最小二乘法计算零位偏差，完成机器人零位标定。
6. 问题
6.1 为什么需要20个点?
在机器人零位标定中，选择多个测量点（例如 20 个点）是为了提高标定的精度和鲁棒性。以下是原因：
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减少测量误差的影响：
- 单个点的测量可能存在误差（例如传感器噪声、环境干扰等）。
- 使用多个点可以通过最小二乘法将误差分散，从而得到更准确的零位偏差。
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提高解的稳定性：
- 如果测量点过少，矩阵 B T ⋅ B B^T \cdot B BT⋅B 可能是奇异的（不可逆），导致无法求解。
- 增加测量点数量可以确保矩阵 B T ⋅ B B^T \cdot B BT⋅B 的条件数更好，从而提高解的稳定性。
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覆盖更多的姿态空间：
- 通过选择不同的姿态（关节角度组合），可以覆盖更大的工作空间。
- 这有助于捕捉零位偏差在不同姿态下的影响，避免局部解。
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减少过拟合风险：
- 如果测量点过少，可能会导致模型过拟合，无法准确反映实际的零位偏差。
- 增加点数可以让模型更具泛化能力。
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满足最小二乘法的要求：
- 最小二乘法需要测量点的数量大于未知参数的数量（即 n > m n > m n>m，其中 n n n 是测量点数， m m m 是零位偏差的维度）。
- 选择 20 个点通常是为了确保足够的数据冗余。
总结来说，选择 20 个点是为了在数据冗余、解的稳定性和精度之间取得平衡，同时确保标定结果的可靠性。