机器学习中的数学(PartⅡ)——线性代数:概述

首先引入代数和线性代数的概念:

  • 在将一些直观的、基于经验或直觉的概念转化为严格的数学或逻辑定义时,一种常用方法是构建一组对象和一组操作这些对象的规则,这就是代数
  • 线性代数是研究向量和某些操作向量的规则。

其次从更广泛的意义上定义了向量,即满足以下两个特性的对象都可视为向量:

  • 两个对象可以相加;
  • 能乘以标量产生一个同类型的对象。

一些例子:

  • 几何向量:通常表示为一个有向线段,也是我们最熟悉的形式。
  • 多项式:也满足可加性和缩放性;
  • 语音信号:语音信号可被表示为一系列数值,也可以进行相加和缩放;
  • n维实数空间的元素(n个实数元组):在机器学习中常用的向量表示形式,也是本书重点关注的形式;

数学中闭合(closure)的概念,即问题是:我的操作能产生的所有可能结果的集合是什么?在向量的例子中:对一组向量进行相加和缩放的操作,能产生的向量的集合是什么?这就涉及到了向量空间的概念。

作者还提供了思维导图,表示了各种概念和章节之间的联系:

可以简单看一下思维导图的脉络:由向量 的概念出发,其具有一些特性,例如线性无关 等;结合"闭合 "的概念可引出向量空间 ;多个向量可组成矩阵 ,矩阵则可表示为对向量的一种线性/仿射变换 ,也可表示为一个线性方程组,可用高斯消元法进行求解等等。

最后还提供了一些线性代数优质课程的参考资料,其中还提到了3Blue1Brown的线性代数系列,该系列在B站有字幕版本,强烈推荐。

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