稳态响应分析与MATLAB可视化
在控制系统中，线性时不变系统的稳态响应是描述输入与输出之间关系的关键。对于一个频率为 ω i \omega_i ωi 的正弦输入 u ( t ) = M i sin ( ω i t + φ i ) u(t) = M_i \sin(\omega_i t + \varphi_i) u(t)=Misin(ωit+φi)，经过系统 G ( s ) G(s) G(s) 的作用，系统的稳态输出 x s s ( t ) x_{\mathrm{ss}}(t) xss(t) 会受到系统频率响应的影响。以下是对稳态响应的详细分析及MATLAB可视化实现。
1. 稳态输出的频率响应
假设系统的传递函数为 G ( s ) G(s) G(s)，对于频率为 ω i \omega_i ωi 的输入信号，系统的稳态响应 x s s ( t ) x_{\mathrm{ss}}(t) xss(t) 可以通过以下公式表示：
x s s ( t ) = 1 2 ∣ G ( j ω i ) ∣ [ 2 B cos ( ∠ G ( j ω i ) + ω i t ) + 2 A sin ( ∠ G ( j ω i ) + ω i t ) ] x_{\mathrm{ss}}(t) = \frac{1}{2} \left| G(\mathrm{j}\omega_i) \right| \left[ 2B \cos(\angle G(\mathrm{j}\omega_i) + \omega_i t) + 2A \sin(\angle G(\mathrm{j}\omega_i) + \omega_i t) \right] xss(t)=21∣G(jωi)∣[2Bcos(∠G(jωi)+ωit)+2Asin(∠G(jωi)+ωit)]
通过代入公式 ( 9.2.3 ) (9.2.3) (9.2.3)，得到稳态输出的简化表达式：
x s s ( t ) = ∣ G ( j ω i ) ∣ M i sin ( ∠ G ( j ω i ) + ω i t + φ i ) (9.2.17) x_{\mathrm{ss}}(t) = \left| G(\mathrm{j}\omega_i) \right| M_i \sin \left( \angle G(\mathrm{j}\omega_i) + \omega_i t + \varphi_i \right) \quad \text{(9.2.17)} xss(t)=∣G(jωi)∣Misin(∠G(jωi)+ωit+φi)(9.2.17)
其中 M i M_i Mi 和 φ i \varphi_i φi 分别是输入信号的振幅和相位。
2. 输出振幅和相位
定义稳态输出为：
x s s ( t ) = M o sin ( ω i t + φ o ) (9.2.18) x_{\mathrm{ss}}(t) = M_o \sin(\omega_i t + \varphi_o) \quad \text{(9.2.18)} xss(t)=Mosin(ωit+φo)(9.2.18)
其中：
M o = ∣ G ( j ω i ) ∣ M i , φ o = ∠ G ( j ω i ) + φ i M_o = \left| G(\mathrm{j}\omega_i) \right| M_i, \quad \varphi_o = \angle G(\mathrm{j}\omega_i) + \varphi_i Mo=∣G(jωi)∣Mi,φo=∠G(jωi)+φi
M o M_o Mo 和 φ o \varphi_o φo 分别表示输出信号的振幅和相位。对比式 ( 9.2.18 ) (9.2.18) (9.2.18) 和式 ( 9.2.3 ) (9.2.3) (9.2.3)，可以得出结论：对于一个正弦输入信号，经过线性时不变系统 G ( s ) G(s) G(s) 后，输出信号保持相同的频率 ω i \omega_i ωi，但振幅变化了 ∣ G ( j ω i ) ∣ \left| G(\mathrm{j}\omega_i) \right| ∣G(jωi)∣ 倍，相位变化了 ∠ G ( j ω i ) \angle G(\mathrm{j}\omega_i) ∠G(jωi)。
3. 以积分器为例
考虑积分器系统，其传递函数为：
G ( s ) = 1 s G(s) = \frac{1}{s} G(s)=s1
代入 j ω i \mathrm{j}\omega_i jωi，可以得到：
G ( j ω i ) = 1 j ω i = − 1 ω i j (9.2.19) G(\mathrm{j}\omega_i) = \frac{1}{\mathrm{j}\omega_i} = -\frac{1}{\omega_i} \mathrm{j} \quad \text{(9.2.19)} G(jωi)=jωi1=−ωi1j(9.2.19)
在复平面中， G ( j ω i ) G(\mathrm{j}\omega_i) G(jωi) 的幅值和相位分别为：
∣ G ( j ω i ) ∣ = 1 ω i , ∠ G ( j ω i ) = − π 2 \left| G(\mathrm{j}\omega_i) \right| = \frac{1}{\omega_i}, \quad \angle G(\mathrm{j}\omega_i) = -\frac{\pi}{2} ∣G(jωi)∣=ωi1,∠G(jωi)=−2π
根据式 ( 9.2.18 ) (9.2.18) (9.2.18)，当输入 u ( t ) = M i sin ( ω i t + φ i ) u(t) = M_i \sin(\omega_i t + \varphi_i) u(t)=Misin(ωit+φi) 时，系统的稳态输出为：
x s s ( t ) = 1 ω i M i sin ( ω i t + φ i − π 2 ) (9.2.20) x_{\mathrm{ss}}(t) = \frac{1}{\omega_i} M_i \sin(\omega_i t + \varphi_i - \frac{\pi}{2}) \quad \text{(9.2.20)} xss(t)=ωi1Misin(ωit+φi−2π)(9.2.20)
这表明，经过积分器系统后，输出信号的幅值变为输入信号的幅值除以 ω i \omega_i ωi，相位相对于输入信号延迟了 π 2 \frac{\pi}{2} 2π。
4. MATLAB 可视化代码
为了更直观地展示频率响应的影响，下面给出一段 MATLAB 代码，用于模拟和可视化积分器对输入信号的稳态响应。
matlab
% 设置输入信号的参数
M_i = 1; % 输入信号的振幅
omega_i = 2*pi*1; % 输入信号的频率，单位为rad/s
phi_i = 0; % 输入信号的相位
% 设置积分器系统的传递函数 G(s) = 1/s
% 计算 G(jω_i) 的幅值和相位
G_jomega_i_mag = 1 / omega_i; % G(jω_i) 的幅值
G_jomega_i_phase = -pi/2; % G(jω_i) 的相位
% 计算稳态输出的振幅和相位
M_o = G_jomega_i_mag * M_i; % 输出信号的振幅
phi_o = G_jomega_i_phase + phi_i; % 输出信号的相位
% 设置时间范围
t = 0:0.001:10; % 时间从 0 到 10 秒，步长为 0.001 秒
% 输入信号 u(t)
u_t = M_i * sin(omega_i * t + phi_i);
% 输出信号 x_ss(t) = M_o * sin(ω_i * t + φ_o)
x_ss_t = M_o * sin(omega_i * t + phi_o);
% 绘图
figure;
% 输入信号和输出信号绘制在同一图中
plot(t, u_t, 'r', 'LineWidth', 1.5); % 输入信号
hold on; % 保持图形，使得输出信号可以在同一图中绘制
plot(t, x_ss_t, 'b', 'LineWidth', 1.5); % 输出信号
hold off; % 释放图形
% 添加标题和标签
title('积分器系统的输入输出信号');
xlabel('时间 (秒)');
ylabel('幅值');
legend('输入信号 u(t)', '输出信号 x_{ss}(t)', 'Location', 'best');
grid on;
6. 结论
通过上述分析和MATLAB可视化，我们可以看到，经过线性时不变系统（如积分器）后，输入信号的振幅和相位发生了变化。在积分器的案例中，输出信号的振幅是输入信号振幅的倒数，而相位则滞后了 π 2 \frac{\pi}{2} 2π。这一结果展示了频率响应在分析线性系统稳态响应中的重要作用。