2025年认证杯数学建模竞赛A题完整分析论文（含模型、可运行代码）（共32页）

本论文针对天文观测中的两个重要问题进行数学建模与分析。首先，通过对多个地面天文台同时观测同一颗小行星的数据，建立了数学模型来计算小行星与地球之间的相对距离；其次，基于多次观测数据，构建了小行星短期轨道预测模型，旨在预测未来特定时刻各台站的观测方位角和高度角。通过这两个问题的建模与求解，提供了精确的天文数据分析方法，并对未来的天文观测任务具有重要的参考意义。

在问题1中，我们提出了一种通过多个地面天文台同时观测小行星并给出方位角和高度角的数据，建立的数学模型，计算得到了小行星与地球的相对距离。利用天文坐标系和坐标变换的技术，有效地结合观测数据与天体位置，从而实现精确的距离计算。这一模型具有较高的精度，适用于实时天文观测中的距离测量。

在问题2中，我们基于多次地面天文台观测小行星的数据，应用了天体力学和开普勒定律，建立了小行星的短期轨道预测模型。该模型能够预测从观测日开始的15到30天内，特定时刻（如正午或凌晨0点）各台站的观测方位角和高度角，具有较强的可预测性和灵活性，能为未来的天文观测提供具体的时间与空间参考。

通过这两个模型的建立与分析，本论文为天文观测中小行星的轨道预测和距离计算提供了新的数学工具和方法。结合精确的观测数据，未来该模型可拓展应用于其他天体的轨道分析及空间探测任务。进一步的工作可以集中在提高轨道预测的长期准确性，探索更多影响轨道变化的因素，并将这些方法推广到其他类型的天文观测与分析任务中。

关键词：小行星轨道，天文观测，数学建模，距离测量

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一、问题分析

问题1分析：多个地面天文台观测小行星的相对距离

在问题1中，多个地面天文台同时观测同一颗小行星，并提供了方位角和高度角信息。通过这些数据，我们的目标是确定小行星与地球的相对距离。方位角和高度角反映了小行星在天空中的位置，而地面天文台的位置是已知的。因此，我们可以通过将这些角度数据转化为三维空间中的坐标来确定小行星的位置。具体而言，方位角和高度角可以转换为球面坐标系中的坐标，再通过坐标变换将其转化为地球固定坐标系中的坐标，从而计算出小行星与地球的相对距离。在该过程中，我们需要注意到天文台的地理位置误差和角度观测误差可能会对结果产生一定影响，因此需要在模型中进行适当的误差控制和修正。通过这种方法，可以较为精确地估算小行星的当前位置及其与地球的距离。

问题2分析：短期轨道预测

问题2要求我们对不同天文台持续跟踪观测的小行星进行短期轨道预测。该问题主要涉及如何利用小行星的轨道数据（如偏心率、半长轴等）预测其未来的运动轨迹，并根据这些数据推算出未来15至30天内各个天文台在特定时刻的观测方位角和高度角。在轨道预测过程中，我们可以使用天体力学的基本原理，结合开普勒定律和数值积分方法，对小行星的轨道进行建模。这一过程涉及将小行星的初始轨道参数输入到模型中，并通过数值方法计算其在未来一段时间内的位置。需要特别注意的是，轨道预测对于短期较为精确，但随着时间的推移，预测误差可能会逐渐增大，尤其是受到其他天体引力扰动的影响。为了提高预测的准确性，必须确保观测数据的准确性和轨道参数的精确估计。通过多天文台的观测数据，可以有效地提高预测结果的精度。

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二、问题重述

问题1：确定小行星与地球的相对距离

在本问题中，多个地面天文台在同一时间观测了同一颗小行星，并给出了小行星的方位角和高度角。我们的目标是通过这些观测数据，建立数学模型来确定小行星与地球的相对距离。具体来说，方位角和高度角提供了小行星在天空中的位置，结合天文台的位置，我们可以利用坐标变换方法，从地面天文台的观测数据推算出小行星在三维空间中的位置，并进而计算出小行星与地球之间的相对距离。

问题2：短期轨道预测

本问题要求我们根据不同天文台持续跟踪观测的多次数据，对某颗小行星的短期轨道进行预测。预测的时间范围为从观测日开始的15到30天内，重点是预测在这些天内每天的特定时刻（例如正午12:00或凌晨0:00）各天文台的观测方位角和高度角。为了实现这一目标，我们需要通过已知的小行星轨道参数，建立轨道运动模型，利用天体力学的原理（如开普勒定律）对小行星的轨道进行数值预测。通过计算小行星在未来一段时间内的位置，我们能够推算出各天文台在特定时刻的观测数据。

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