命题4的证明详解（分情况讨论）
背景与设定
- 机制 ： f : D → R f: \mathcal{D} \to \mathcal{R} f:D→R 是由 n n n 个 ϵ \epsilon ϵ-差分隐私机制自适应组合而成。
- 相邻输入 ： D D D 和 D ′ D' D′ 是相邻数据集。
- 目标 ：证明对任意事件 S ⊆ R S \subseteq \mathcal{R} S⊆R，有：
Pr f ( D ) ∈ S ≤ exp ( 2 ϵ n log ( 1 / Pr f ( D ′ ) ∈ S ) ) ⋅ Pr f ( D ′ ) ∈ S . \Prf(D) \\in S \leq \exp\left( 2\epsilon \sqrt{n \log(1/\Prf(D') \\in S)} \right) \cdot \Prf(D') \\in S. Prf(D)∈S≤exp(2ϵnlog(1/Prf(D′)∈S) )⋅Prf(D′)∈S.
证明概述
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Rényi差分隐私（RDP）的组合性 ：
根据命题1（RDP的组合性），每个机制的RDP参数为 ( α , 2 α ϵ 2 ) (\alpha, 2\alpha \epsilon^2) (α,2αϵ2)，组合后得到：
D α ( f ( D ) ∥ f ( D ′ ) ) ≤ 2 α n ϵ 2 ( α ≥ 1 ) . D_\alpha(f(D) \parallel f(D')) \leq 2\alpha n \epsilon^2 \quad (\alpha \geq 1). Dα(f(D)∥f(D′))≤2αnϵ2(α≥1). -
概率保持定理（命题10） ：
对于事件 S S S，若 Q = Pr f ( D ′ ) ∈ S Q = \Prf(D') \\in S Q=Prf(D′)∈S，则：
Pr f ( D ) ∈ S ≤ ( exp ( D α ( P ∥ Q ) ) ⋅ Q ) ( α − 1 ) / α . \Prf(D) \\in S \leq \left( \exp(D_\alpha(P \parallel Q)) \cdot Q \right)^{(\alpha - 1)/\alpha}. Prf(D)∈S≤(exp(Dα(P∥Q))⋅Q)(α−1)/α.
情况I： log ( 1 / Q ) ≥ ϵ 2 n \log(1/Q) \geq \epsilon^2 n log(1/Q)≥ϵ2n
步骤1：选择最优的 α \alpha α
令 α = log ( 1 / Q ) ϵ n \alpha = \frac{\sqrt{\log(1/Q)}}{\epsilon \sqrt{n}} α=ϵn log(1/Q) 。
- 验证 α ≥ 1 \alpha \geq 1 α≥1 ：
由 log ( 1 / Q ) ≥ ϵ 2 n \log(1/Q) \geq \epsilon^2 n log(1/Q)≥ϵ2n，得：
α = log ( 1 / Q ) ϵ n ≥ ϵ 2 n ϵ n = 1. \alpha = \frac{\sqrt{\log(1/Q)}}{\epsilon \sqrt{n}} \geq \frac{\sqrt{\epsilon^2 n}}{\epsilon \sqrt{n}} = 1. α=ϵn log(1/Q) ≥ϵn ϵ2n =1.
步骤2：应用概率保持定理
代入 D α ( P ∥ Q ) ≤ 2 α n ϵ 2 D_\alpha(P \parallel Q) \leq 2\alpha n \epsilon^2 Dα(P∥Q)≤2αnϵ2，得：
Pr f ( D ) ∈ S ≤ ( exp ( 2 α n ϵ 2 ) ⋅ Q ) ( α − 1 ) / α . \Prf(D) \\in S \leq \left( \exp(2\alpha n \epsilon^2) \cdot Q \right)^{(\alpha - 1)/\alpha}. Prf(D)∈S≤(exp(2αnϵ2)⋅Q)(α−1)/α.
步骤3：展开指数项
对指数部分进行分解：
exp ( 2 α n ϵ 2 ) ⋅ Q = exp ( 2 α n ϵ 2 + log Q ) . \exp(2\alpha n \epsilon^2) \cdot Q = \exp\left( 2\alpha n \epsilon^2 + \log Q \right). exp(2αnϵ2)⋅Q=exp(2αnϵ2+logQ).
由于 log Q = − log ( 1 / Q ) \log Q = -\log(1/Q) logQ=−log(1/Q)，令 L = log ( 1 / Q ) L = \log(1/Q) L=log(1/Q)，则：
exp ( 2 α n ϵ 2 − L ) . \exp\left( 2\alpha n \epsilon^2 - L \right). exp(2αnϵ2−L).
步骤4：代入 α \alpha α 并化简
代入 α = L / ( ϵ n ) \alpha = \sqrt{L}/(\epsilon \sqrt{n}) α=L /(ϵn )，计算指数部分：
2 α n ϵ 2 − L = 2 ⋅ L ϵ n ⋅ n ϵ 2 − L = 2 ϵ n L − L . 2\alpha n \epsilon^2 - L = 2 \cdot \frac{\sqrt{L}}{\epsilon \sqrt{n}} \cdot n \epsilon^2 - L = 2\epsilon \sqrt{n L} - L. 2αnϵ2−L=2⋅ϵn L ⋅nϵ2−L=2ϵnL −L.
进一步化简：
exp ( 2 ϵ n L − L ) = exp ( L ⋅ ( 2 ϵ n L − 1 ) ) . \exp\left( 2\epsilon \sqrt{n L} - L \right) = \exp\left( L \cdot \left( \frac{2\epsilon \sqrt{n}}{\sqrt{L}} - 1 \right) \right). exp(2ϵnL −L)=exp(L⋅(L 2ϵn −1)).
步骤5：结合 Q 1 − 1 / α Q^{1 - 1/\alpha} Q1−1/α
注意到 Q 1 − 1 / α = exp ( − log ( 1 / Q ) ⋅ ( 1 − 1 / α ) ) Q^{1 - 1/\alpha} = \exp\left( -\log(1/Q) \cdot (1 - 1/\alpha) \right) Q1−1/α=exp(−log(1/Q)⋅(1−1/α))，因此最终结果为：
Pr f ( D ) ∈ S ≤ exp ( 2 ϵ n L ) ⋅ Q . \Prf(D) \\in S \leq \exp\left( 2\epsilon \sqrt{n L} \right) \cdot Q. Prf(D)∈S≤exp(2ϵnL )⋅Q.
情况II： log ( 1 / Q ) < ϵ 2 n \log(1/Q) < \epsilon^2 n log(1/Q)<ϵ2n
步骤1：直接验证右边超过1
令 L = log ( 1 / Q ) L = \log(1/Q) L=log(1/Q)，则 L < ϵ 2 n L < \epsilon^2 n L<ϵ2n。需证明：
exp ( 2 ϵ n L ) ⋅ Q ≥ 1. \exp\left( 2\epsilon \sqrt{n L} \right) \cdot Q \geq 1. exp(2ϵnL )⋅Q≥1.
步骤2：利用基本不等式
由 n L ≥ L / ϵ \sqrt{n L} \geq L/\epsilon nL ≥L/ϵ（因 L < ϵ 2 n L < \epsilon^2 n L<ϵ2n，即 L / ϵ < ϵ n L/\epsilon < \epsilon n L/ϵ<ϵn），得：
2 ϵ n L ≥ 2 L . 2\epsilon \sqrt{n L} \geq 2L. 2ϵnL ≥2L.
因此：
exp ( 2 ϵ n L ) ⋅ Q ≥ exp ( 2 L ) ⋅ e − L = e L ≥ 1 ( 因 L ≥ 0 ) . \exp\left( 2\epsilon \sqrt{n L} \right) \cdot Q \geq \exp(2L) \cdot e^{-L} = e^{L} \geq 1 \quad (\text{因} \ L \geq 0). exp(2ϵnL )⋅Q≥exp(2L)⋅e−L=eL≥1(因 L≥0).
步骤3：结论
由于概率 Pr f ( D ) ∈ S ≤ 1 \Prf(D) \\in S \leq 1 Prf(D)∈S≤1，而右边 exp ( 2 ϵ n L ) ⋅ Q ≥ 1 \exp\left( 2\epsilon \sqrt{n L} \right) \cdot Q \geq 1 exp(2ϵnL )⋅Q≥1，原不等式自然成立。
关键点总结
- 情况I ：当事件 S S S 在 D ′ D' D′ 下的概率 Q Q Q 极小时（即 log ( 1 / Q ) ≥ ϵ 2 n \log(1/Q) \geq \epsilon^2 n log(1/Q)≥ϵ2n），通过优化选择 α \alpha α，将RDP参数转化为指数形式的上界。
- 情况II ：当 Q Q Q 不太小时，直接验证右侧超过1，从而不等式自动成立。
- 核心技巧 ：通过RDP的组合性和概率保持定理，结合参数优化（选择 α \alpha α），最终统一了两种情况的结果。