概率论的基本概念
一、随机事件
1. 随机试验
定义：满足以下三个条件的试验称为随机试验：
- 可以在相同条件下重复进行
- 每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确所有可能结果
- 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现
记法 ：用 EEE 表示随机试验
2. 样本空间
定义 ：随机试验 EEE 的所有可能结果组成的集合称为样本空间，记为 Ω\OmegaΩ
例题 ：掷一枚骰子的样本空间为 Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}Ω={1,2,3,4,5,6}
3. 随机事件
定义 ：样本空间 Ω\OmegaΩ 的子集称为随机事件，简称事件
分类：
- 基本事件：只包含一个样本点的事件
- 复合事件：包含多个样本点的事件
- 必然事件：Ω\OmegaΩ 本身
- 不可能事件：空集 ∅\varnothing∅
4. 事件间的关系
- 包含关系 ：A⊂BA \subset BA⊂B，表示 AAA 发生必然导致 BBB 发生
- 相等关系 ：A=BA = BA=B，表示 A⊂BA \subset BA⊂B 且 B⊂AB \subset AB⊂A
- 互斥关系 ：A∩B=∅A \cap B = \varnothingA∩B=∅，表示 AAA 与 BBB 不能同时发生
- 对立关系 ：A∪B=ΩA \cup B = \OmegaA∪B=Ω 且 A∩B=∅A \cap B = \varnothingA∩B=∅，记 B=A‾B = \overline{A}B=A
5. 事件的运算
- 和事件 ：A∪BA \cup BA∪B，表示 AAA 与 BBB 至少有一个发生
- 积事件 ：A∩BA \cap BA∩B（简记为 ABABAB），表示 AAA 与 BBB 同时发生
- 差事件 ：A−BA - BA−B，表示 AAA 发生而 BBB 不发生
- 对立事件 ：A‾\overline{A}A，表示 AAA 不发生
运算律：
- 交换律 ：A∪B=B∪AA \cup B = B \cup AA∪B=B∪A，A∩B=B∩AA \cap B = B \cap AA∩B=B∩A
- 结合律 ：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
- 分配律 ：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
- 德摩根律 ：A∪B‾=A‾∩B‾\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}A∪B=A∩B，A∩B‾=A‾∪B‾\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}A∩B=A∪B
二、频率、概率
1. 频数与频率
定义：
- 频数 ：事件 AAA 在 nnn 次试验中发生的次数 nAn_AnA
- 频率 ：fn(A)=nAnf_n(A) = \frac{n_A}{n}fn(A)=nnA
2. 频率的基本性质
- 0≤fn(A)≤10 \leq f_n(A) \leq 10≤fn(A)≤1
- fn(Ω)=1f_n(\Omega) = 1fn(Ω)=1
- 若 A1,A2,⋯ ,AkA_1, A_2, \cdots, A_kA1,A2,⋯,Ak 两两互不相容，则 fn(⋃i=1kAi)=∑i=1kfn(Ai)f_n\left(\bigcup\limits_{i=1}^k A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^k f_n(A_i)fn(i=1⋃kAi)=i=1∑kfn(Ai)
3. 概率的定义和性质
公理化定义 ：设 Ω\OmegaΩ 为样本空间，F\mathcal{F}F 为事件域，若函数 P:F→RP: \mathcal{F} \to \mathbb{R}P:F→R 满足：
- 非负性 ：∀A∈F,P(A)≥0\forall A \in \mathcal{F}, P(A) \geq 0∀A∈F,P(A)≥0
- 规范性 ：P(Ω)=1P(\Omega) = 1P(Ω)=1
- 可列可加性 ：若 A1,A2,⋯A_1, A_2, \cdotsA1,A2,⋯ 两两互斥，则 P(⋃i=1∞Ai)=∑i=1∞P(Ai)P\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^\infty P(A_i)P(i=1⋃∞Ai)=i=1∑∞P(Ai)
则称 PPP 为概率测度。
性质：
- P(∅)=0P(\varnothing) = 0P(∅)=0
- 有限可加性 ：若 A1,A2,⋯ ,AnA_1, A_2, \cdots, A_nA1,A2,⋯,An 两两互斥，则 P(⋃i=1nAi)=∑i=1nP(Ai)P\left(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^n P(A_i)P(i=1⋃nAi)=i=1∑nP(Ai)
- P(A‾)=1−P(A)P(\overline{A}) = 1 - P(A)P(A)=1−P(A)
- 若 A⊂BA \subset BA⊂B，则 P(A)≤P(B)P(A) \leq P(B)P(A)≤P(B)
- P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
例题 ：已知 P(A)=0.6P(A) = 0.6P(A)=0.6，P(B)=0.4P(B) = 0.4P(B)=0.4，P(A∩B)=0.2P(A \cap B) = 0.2P(A∩B)=0.2，求 P(A∪B)P(A \cup B)P(A∪B)
解 ：
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0.6+0.4−0.2=0.8P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.6 + 0.4 - 0.2 = 0.8P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0.6+0.4−0.2=0.8
三、古典概型
1. 古典概型
定义：若随机试验满足：
- 样本空间只包含有限个元素
- 每个基本事件发生的可能性相同
则称该试验为古典概型。
计算公式 ：
P(A)=A包含的基本事件数Ω中基本事件总数P(A) = \frac{A\text{包含的基本事件数}}{\Omega\text{中基本事件总数}}P(A)=Ω中基本事件总数A包含的基本事件数
2. 几何概型
定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的测度（长度、面积、体积等）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。
计算公式 ：
P(A)=构成事件A的区域测度样本空间的区域测度P(A) = \frac{\text{构成事件}A\text{的区域测度}}{\text{样本空间的区域测度}}P(A)=样本空间的区域测度构成事件A的区域测度
例题1（古典概型）：从5白3黑共8个球中任取2个，求取到1白1黑的概率
解 ：
P=C51C31C82=5×328=1528P = \frac{C_5^1 C_3^1}{C_8^2} = \frac{5 \times 3}{28} = \frac{15}{28}P=C82C51C31=285×3=2815
例题2（几何概型） ：在区间[0,2]上随机取一个数 xxx，求 x2<2x^2 < 2x2<2 的概率
解 ：由 x2<2x^2 < 2x2<2 得 0≤x<20 \leq x < \sqrt{2}0≤x<2 ，
P=2−02−0=22P = \frac{\sqrt{2} - 0}{2 - 0} = \frac{\sqrt{2}}{2}P=2−02 −0=22
四、条件概率
1. 条件概率
定义 ：在事件 BBB 发生的条件下，事件 AAA 发生的概率称为条件概率，记为 P(A∣B)P(A|B)P(A∣B)
计算公式 ：
P(A∣B)=P(AB)P(B)，其中P(B)>0P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}，其中 P(B) > 0P(A∣B)=P(B)P(AB)，其中P(B)>0
2. 乘法定理
- P(AB)=P(B)P(A∣B)=P(A)P(B∣A)P(AB) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)P(AB)=P(B)P(A∣B)=P(A)P(B∣A)
- 推广 ：
P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)⋯P(An∣A1A2⋯An−1)P(A_1A_2\cdots A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1})P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)⋯P(An∣A1A2⋯An−1)
3. 全概率公式
设 B1,B2,⋯ ,BnB_1, B_2, \cdots, B_nB1,B2,⋯,Bn 是样本空间 Ω\OmegaΩ 的一个划分，且 P(Bi)>0P(B_i) > 0P(Bi)>0，则对任意事件 AAA 有：
P(A)=∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i)P(A)=i=1∑nP(Bi)P(A∣Bi)
4. 贝叶斯公式
在全概率公式的条件下，若 P(A)>0P(A) > 0P(A)>0，则：
P(Bj∣A)=P(Bj)P(A∣Bj)∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi),j=1,2,⋯ ,nP(B_j|A) = \frac{P(B_j)P(A|B_j)}{\sum\limits_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i)},\quad j=1,2,\cdots,nP(Bj∣A)=i=1∑nP(Bi)P(A∣Bi)P(Bj)P(A∣Bj),j=1,2,⋯,n
5. 先验概率与后验概率
- 先验概率 ：P(Bi)P(B_i)P(Bi)，试验前根据以往经验和分析得到的概率
- 后验概率 ：P(Bi∣A)P(B_i|A)P(Bi∣A)，在事件 AAA 发生后对 BiB_iBi 概率的重新评估
例题 ：某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量分别占25%、35%、40%，次品率分别为5%、4%、2%。从总产品中任取一件：
(1) 求取到次品的概率
(2) 若取到的是次品，求它是甲车间生产的概率
解 ：
设 AAA="取到次品"，B1B_1B1="甲车间生产"，B2B_2B2="乙车间生产"，B3B_3B3="丙车间生产"
(1) 由全概率公式：
P(A)=P(B1)P(A∣B1)+P(B2)P(A∣B2)+P(B3)P(A∣B3)P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + P(B_3)P(A|B_3)P(A)=P(B1)P(A∣B1)+P(B2)P(A∣B2)+P(B3)P(A∣B3)
=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.0345= 0.25 \times 0.05 + 0.35 \times 0.04 + 0.4 \times 0.02 = 0.0345=0.25×0.05+0.35×0.04+0.4×0.02=0.0345
(2) 由贝叶斯公式：
P(B1∣A)=P(B1)P(A∣B1)P(A)=0.25×0.050.0345≈0.3623P(B_1|A) = \frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(A)} = \frac{0.25 \times 0.05}{0.0345} \approx 0.3623P(B1∣A)=P(A)P(B1)P(A∣B1)=0.03450.25×0.05≈0.3623
五、独立性
1. 两个事件的相互独立性
定义 ：若 P(AB)=P(A)P(B)P(AB) = P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)，则称事件 AAA 与 BBB 相互独立
等价条件：
- P(A∣B)=P(A)P(A|B) = P(A)P(A∣B)=P(A)（当 P(B)>0P(B) > 0P(B)>0 时）
- P(B∣A)=P(B)P(B|A) = P(B)P(B∣A)=P(B)（当 P(A)>0P(A) > 0P(A)>0 时）
2. 相互独立事件的性质
- 若 AAA 与 BBB 独立，则 AAA 与 B‾\overline{B}B、A‾\overline{A}A 与 BBB、A‾\overline{A}A 与 B‾\overline{B}B 也都独立
- 若 P(A)=0P(A) = 0P(A)=0 或 P(A)=1P(A) = 1P(A)=1，则 AAA 与任何事件 BBB 独立
3. 多个事件的相互独立性
定义 ：设 A1,A2,⋯ ,AnA_1, A_2, \cdots, A_nA1,A2,⋯,An 是 nnn 个事件，如果对任意 kkk(2≤k≤n2 \leq k \leq n2≤k≤n)和任意 1≤i1<i2<⋯<ik≤n1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n1≤i1<i2<⋯<ik≤n，都有：
P(Ai1Ai2⋯Aik)=P(Ai1)P(Ai2)⋯P(Aik)P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k}) = P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k})P(Ai1Ai2⋯Aik)=P(Ai1)P(Ai2)⋯P(Aik)
则称 A1,A2,⋯ ,AnA_1, A_2, \cdots, A_nA1,A2,⋯,An 相互独立。
注意：两两独立不一定相互独立
例题 ：甲、乙两人独立射击同一目标，命中率分别为0.8和0.7，求：
(1) 两人都命中的概率
(2) 至少一人命中的概率
解 ：
设 AAA="甲命中"，BBB="乙命中"
(1)
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56P(AB) = P(A)P(B) = 0.8 \times 0.7 = 0.56P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56
(2)
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.8+0.7−0.56=0.94P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.8 + 0.7 - 0.56 = 0.94P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.8+0.7−0.56=0.94
历年考题选编
考题1 ：设 A,BA,BA,B 为随机事件，且 P(A)=0.5P(A) = 0.5P(A)=0.5，P(B)=0.6P(B) = 0.6P(B)=0.6，P(B∣A‾)=0.4P(B|\overline{A}) = 0.4P(B∣A)=0.4，则 P(A∪B)=P(A \cup B) =P(A∪B)= ______
解 ：
由
P(B∣A‾)=P(BA‾)P(A‾)=P(B)−P(AB)1−P(A)=0.6−P(AB)0.5=0.4P(B|\overline{A}) = \frac{P(B\overline{A})}{P(\overline{A})} = \frac{P(B) - P(AB)}{1 - P(A)} = \frac{0.6 - P(AB)}{0.5} = 0.4P(B∣A)=P(A)P(BA)=1−P(A)P(B)−P(AB)=0.50.6−P(AB)=0.4
得 0.6−P(AB)=0.20.6 - P(AB) = 0.20.6−P(AB)=0.2，即 P(AB)=0.4P(AB) = 0.4P(AB)=0.4
∴
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.5+0.6−0.4=0.7P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.5 + 0.6 - 0.4 = 0.7P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.5+0.6−0.4=0.7
考题2：袋中有5个红球、3个白球，从中每次任取一球，取出后不放回，求第二次取到红球的概率
解 ：
设 AAA="第一次取红球"，BBB="第二次取红球"
由全概率公式：
P(B)=P(A)P(B∣A)+P(A‾)P(B∣A‾)=58×47+38×57=2056+1556=3556=58P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} + \frac{3}{8} \times \frac{5}{7} = \frac{20}{56} + \frac{15}{56} = \frac{35}{56} = \frac{5}{8}P(B)=P(A)P(B∣A)+P(A)P(B∣A)=85×74+83×75=5620+5615=5635=85
考题3 ：设事件 A,BA,BA,B 相互独立，且 P(A)=0.3P(A) = 0.3P(A)=0.3，P(B)=0.4P(B) = 0.4P(B)=0.4，则 P(A−B)=P(A - B) =P(A−B)= ______
解 ：
P(A−B)=P(AB‾)=P(A)P(B‾)=0.3×(1−0.4)=0.3×0.6=0.18P(A - B) = P(A\overline{B}) = P(A)P(\overline{B}) = 0.3 \times (1 - 0.4) = 0.3 \times 0.6 = 0.18P(A−B)=P(AB)=P(A)P(B)=0.3×(1−0.4)=0.3×0.6=0.18