【算法数据结构】leetcode37 解数独

37. 解数独 - 力扣（LeetCode）

题目描述：

题目要求每一行，每一列，每个3*3 的子框只能出现一次。每个格子的数字范围1-9.

需要遍历每个空格填入可能的数字，并验证符合规则。如果符合就填入，不符合就回溯。

解法：

回溯算法通常用于解决这种需要试错的问题。当发现当前路径无解时候，返回上一步重新选择。

需要遍历每个空格，找到需要填写的空格，对每个空格尝试填入1-9，检查这个数字是否满足行，列，子框的要求。如果满足就填入这个数字，递归进行下一个空格，如果后续处理中，发现无法填入下去，就需要回溯。恢复这个空格的状态，尝试下一个可能的数字。

检查某个数字是否可以填入当前位置

对于位置（i,i）需要检查i 行，j 列，所在的子框是否有这个数字，属于第几个子框可以用 (i/3 )*3,(j/3 )*3来确定。i=4 4/3=1 1*3=3 ,起始行是3 ，遍历这个3*3的子框。

对于每个空格最多检查1-9个数字。，每个数字需要检查三个方向，最坏情况可能出现重复检查。

优化方法

用哈希表或者数据记录行，列，子框。已经出现的数字。用3个二维数组，记录rowi 表示第i行是否存在数组num,colj 表示第j 列是否存在数据num,boxk 表示第k 个子框中是否存咋这个数字num,

k 可以通过 i//3*3 +j//3 来计算

i=0 ,j=0 ,k=0

i=3,j=3 ,k=4 在第四个子框。

预处理这三个数组，遍历整个数独，对这个对每个非空的格子，将对应的行列，子框中盖数字标记为存在。比如broad_i 为5 ，那么需要row_i 设置为true ,col_j 设置为true ，box_k （k为子框的索引）设置为true。

对每个空格尝试填入1-9 数字中的一个，

初始化 9X10 数组其中索引 0不用

步骤

预处理三个数组row、col、box，记录每个行、列、子框中已经存在的数字。
收集所有需要填写的空格的位置，存入一个列表spaces。
编写一个回溯函数，参数是当前处理到spaces中的第pos个位置。当pos等于spaces的长度时，说明已经填完所有空格，返回True。
对于当前处理的空格位置(i,j)，尝试填入1到9中的一个数字d。如果该数字满足row $i$ $d$ 、col $j$ $d$ 、box $k$ $d$ 都为False，那么将该数字填入，并更新这三个数组的状态。然后递归处理pos+1的位置。如果递归返回True，说明后续的填写都成功，那么当前的选择是正确的，直接返回True。如果递归返回False，则说明后续无法完成，需要回溯，恢复三个数组的状态，并将board $i$ $j$ 恢复为'.'，然后尝试下一个数字。
如果所有数字都尝试过且都不行，则返回False，触发上一层递归的回溯。

这样，当递归函数返回True时，说明已经找到解，此时board已经被正确填充。

复制代码

    # 初始化 3个数组
    row = [[False] * 10 for i in range(9)]
    print(row)  # 每行十个元素
    col = [[False] * 10 for i in range(9)]

    box = [[False] * 10 for i in range(9)]

[[False, False, False, False, False, False, False, False, False, False],
 [False, False, False, False, False, False, False, False, False, False],
 [False, False, False, False, False, False, False, False, False, False],
 [False, False, False, False, False, False, False, False, False, False], 
[False, False, False, False, False, False, False, False, False, False],
 [False, False, False, False, False, False, False, False, False, False], 
[False, False, False, False, False, False, False, False, False, False], 
[False, False, False, False, False, False, False, False, False, False],
 [False, False, False, False, False, False, False, False, False, False]]

遍历数组填充已经有的数字 spaces 用于记录空格的位置

复制代码

# 遍历整个数组 记录每个行 ，列子框中已经存在的数字
    spaces = []
    for i in range(9):
        for j in range(9):
            if board[i][j] != '.':
                d = int(board[i][j])
                row[i][d] = True
                col[j][d] = True
                k = (i // 3) * 3 + (j // 3)
                box[k][d] = True  # 第k 个箱子的d 是否存在
            # 保存空格的位置到spaces
            else:
                spaces.append((i, j))
    print("空格的位置", spaces)

空格的位置 $(0, 2), (0, 3), (0, 5), (0, 6), (0, 7), (0, 8), (1, 1), (1, 2), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 0), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 8), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 1), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 7), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 5), (5, 6), (5, 7), (6, 0), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 8), (7, 0), (7, 1), (7, 2), (7, 6), (7, 7), (8, 0), (8, 1), (8, 2), (8, 3), (8, 5), (8, 6)$

d = int(board $i$ $j$ ) 填充的数字作为下标

row： row $i$ $d$ =True

复制代码

[[False, False, False, True（3）, False, True（5）, False, True（7）, False, False],
 [False, True（1）, False, False, False, True（5）, True（6）, False, False, True（9）],
 [False, False, False, False, False, False, True（6）, False, True（8）, True（9）], 
[False, False, False, True（3）, False, False, True（6）, False, True（8）, False],
 [False, True（1）, False, True（3）, True（4）, False, False, False, True（8）, False],
 [False, False, True（2）, False, False, False, True（6）, True（7）, False, False], 
[False, False, True（2）, False, False, False, True（6）, False, True（8）, False],
 [False, True（1）, False, False, True（4）, True（5））, False, False, False, True（9）],
 [False, False, False, False, False, False, False, True（7）, True（8）, True（9）]]

col : col $j$ $d$ =true 纵坐标作为行 d作为列

第一列 4 5 6 7 8

False, False, False, False, True（4）, True（5）, True（6）, True（7）, True（8）, False

复制代码

[[False, False, False, False, True（4）, True（5）, True（6）, True（7）, True（8）, False], 
[False, False, False, True, False, False, True, False, False, True], 
[False, False, False, False, False, False, False, False, True, False],
 [False, True, False, False, True, False, False, False, True, False],
 [False, True, True, False, False, False, True, True, True, True], 
[False, False, False, True, False, True, False, False, False, True],
 [False, False, True, False, False, False, False, False, False, False], 
[False, False, False, False, False, False, True, True, True, False], 
[False, True, False, True, False, True, True, False, False, True]]

box : k = (i // 3) * 3 + (j // 3)

box $k$ $d$ = True # 第k 个箱子的d 是否存在

例如 board $4$ $3$ =8 k=(4//3)*3 +(3//1) =4 第4个子框第8个标记为true

复制代码

[[False, False, False, True, False, True, True, False, True, True], 
[False, True, False, False, False, True, False, True, False, True],
 [False, False, False, False, False, False, True, False, False, False], 
[False, False, False, False, True, False, False, True, True, False],
 [False, False, True, True, False, False, True, False, True(8), False], 
[False, True, False, True, False, False, True, False, False, False],
 [False, False, False, False, False, False, True, False, False, False],
 [False, True, False, False, True, False, False, False, True, True], 
[False, False, True, False, False, True, False, True, True, True]]

定义回溯

复制代码

# 定义回溯
    def backtrack(pos):
        print("pos", pos)
        if pos == len(spaces):  # 当pos 等于spaces长度时候说明已经填写完 ，返回true
            print("结果", board)
            return True
        i, j = spaces[pos]
        k = (i // 3) * 3 + (j // 3)
        for d in range(1, 10):  # 对这个位置尝试填充1-9
            if not row[i][d] and not col[j][d] and not box[k][d]:  # 满足为false 时候填入
                row[i][d] = True
                col[j][d] = True
                box[k][d] = True
                board[i][j] = str(d)
                if backtrack(pos + 1):
                    return True
                # 回溯
                row[i][d] = False
                col[j][d] = False
                box[k][d] = False
                board[i][j] = '.'  # 恢复空格
        return False

    backtrack(0)

代码

复制代码

class Solution:
    def solveSudoku(self, board: List[List[str]]) -> None:
        """
        Do not return anything, modify board in-place instead.
        """
        # 初始化三个数组
        row=[[False] *10 for _ in range(9)]
        col=[[False] *10 for _ in range(9)]
        box=[[False] *10 for _ in range(9)]
        spaces=[] # 记录空格位置
        # 遍历数组填充已经有的数字
        for i in range(9):
            for j in range(9):
                if board[i][j]!='.':
                    d=int(board[i][j])
                    row[i][d]=True
                    col[j][d]=True
                    k=(i//3)*3+(j//3)
                    box[k][d]=True
                else:
                    spaces.append((i,j)) # 记录空格的坐标
        def  backtrack(pos):
            if pos ==len(spaces):#遍历完了所有空格
                return True
            i,j=spaces[pos] # 取出当前位置的空格坐标
            k=(i//3)*3+(j//3)
            for d in range(1,10):  # 尝试对该位置填充1-9
                
                if row[i][d]==False and col[j][d]==False and box[k][d]==False:
                    row[i][d]=True
                    col[j][d]=True
                    box[k][d]=True
                    board[i][j]=str(d)
                    if backtrack(pos+1):
                        return True
                    #不满足  回溯
                    row[i][d]=False
                    col[j][d]=False
                    box[k][d]=False
                    board[i][j]='.' 
            return False
        backtrack(0)