K-Means初始化
K-Means 算法的第一步是随机选择位置作为初始聚类中心（new one through newk），但如何进行随机猜测是需要探讨的问题。一般需要多次尝试初始猜测，以期望找到更好的聚类结果。
K 值选择及初始聚类中心选取方法
- K 值选择原则：运行 K-Means 算法时，通常应选择类的数量 K 小于训练示例数量 M。因为若 K 大于 M，将没有足够的训练样本保证每个类中心至少有一个训练样本。例如之前的例子中 K 等于 2，M 等于 30。
- 初始聚类中心选取：最常用的选择聚类中心的方法是从训练样例中随机选取 K 个训练样本，将这些样本的位置作为初始聚类中心。如在一个训练集中随机选两个样本，分别设置为两个类的中心（假设 K = 2）。之前视频中采用的随机点初始化类中心的方法与这里不同，这里介绍的从训练样本中选取的方法更为常用。
随机初始化对聚类结果的影响
不同的随机初始化可能导致不同的聚类结果。在一个有三个簇的数据集示例中，一种随机初始化可能得到较好的聚类结果，将数据很好地聚成三个不同的簇；但另一种初始化可能导致较差的结果，陷入局部最优。例如，若在某组点中初始化两个类中心，在另一组点中初始化一个类中心，运行 K-Means 后得到的聚类效果不佳，此时算法试图最小化的畸变函数（成本函数 J）陷入了局部最小值。不同的随机初始化还可能产生其他不理想的局部最优聚类情况。
多次随机初始化优化策略
- 策略原理：为了增加找到全局最优或更好局部最优的机会，可以多次运行 K-Means 算法，每次使用不同的随机初始化。例如运行三次 K-Means 算法得到三个不同的聚类结果，通过计算这三个结果对应的成本函数 J，选择成本函数 J 最小的那个聚类结果，因为该结果中聚类中心到对应类中样本的距离平方和相对较小，即畸变最小。
- 具体算法步骤：若要进行 100 次随机初始化，需按如下步骤操作。首先，使用从训练样本中选取 K 个样本作为初始聚类中心的方法，进行 100 次随机初始化；然后，基于每次的随机初始化运行 K-Means 算法直至收敛，得到相应的类分配和聚类中心；最后，计算每次运行得到的结果的成本函数，选择成本最低的那组聚类结果作为最终结果。
- 运行次数建议：实际应用中，运行次数通常在 50 到 1000 次之间。运行次数超过 1000 次计算成本会过高，且收益递减；而尝试至少 50 或 100 次随机初始化，往往能比仅进行一次随机初始化获得更好的结果，更有可能避免陷入较差的局部最小值，找到更好的聚类效果。作者在使用 K-Means 算法时，几乎总是采用多个随机初始化的方法，因为这样能更好地最小化畸变成本函数，为聚类找到更好的聚类中心选择。
K值的选择
K 值选择的模糊性
K-Means 算法需要输入一个参数 K，即期望找到的类（簇）的数量。然而，在很多聚类问题中，确定合适的 K 值是比较困难的，因为对于同一个数据集，不同的人可能会认为存在不同数量的类，且都有其合理性。这是因为聚类属于无监督学习算法，没有特定的标签作为正确答案来指导聚类，数据本身也往往无法明确指示其中包含的类的数量。例如，对于某一数据集，很难确定它是包含两个、四个还是三个簇。
选择 K 值的方法 ------ 肘部法
- 方法原理：学术文献中有一些自动选择聚类数的技术，其中一种常见的方法是肘部法（elbow method）。该方法通过使用不同的 K 值运行 K-Means 算法，然后绘制畸变函数（成本函数 J）关于簇数 K 的函数曲线。当簇数较少（如只有一个簇）时，成本函数 J 的畸变值较高，随着簇数增加，畸变值会下降。
- 判断依据：肘部法的核心是观察曲线是否存在一个 "肘部"，即曲线在某点之前下降速度较快，之后下降速度变慢。如果出现这样的 "肘部"，则可以选择 "肘部" 对应的 K 值作为合适的聚类数。例如，若曲线显示在达到三个聚类之前，成本函数下降迅速，之后下降变缓，那么可以选择 K = 3。但作者个人很少使用这种方法，因为在许多应用中，成本函数曲线往往是平滑递减的，没有明显的 "肘部"。
错误的 K 值选择方法
选择 K 值以最小化成本函数 J 不是一个可行的方法。因为增加类的数量几乎总是会使成本函数 J 降低，这样会导致几乎总是选择最大可能的 K 值，无法得到有意义的聚类结果。
实际应用中 K 值的选择
- 依据下游目的选择：在实际应用中，通常是为了实现某个后续或下游的目的而运行 K-Means 算法进行聚类。因此，建议根据 K-Means 算法在实现该下游目的时的表现来评估和选择 K 值。
- T 恤尺寸示例：以 T 恤尺寸为例，在数据集上运行 K-Means 算法可以找到不同数量的簇，如三个簇可对应小、中、大三种 T 恤尺码，五个簇可对应特小、小、中、特大、大等尺码。选择三个簇还是五个簇，需要综合考虑 T 恤业务中的各种因素，如 T 恤的合身程度（更多尺码可能使合身度更好）和制造与运输成本（制造和运输更多种类的 T 恤成本更高）。通过运行 K-Means 算法得到不同 K 值（如 K = 3 和 K = 5）的聚类结果，权衡这些因素来决定对 T 恤业务最有意义的 K 值。
- 图像压缩应用：在程序练习中，K-Means 算法可应用于图像压缩。在这种应用中，存在压缩图像质量（图像看起来的好坏程度）和压缩程度（图像大小）之间的权衡。可以根据这种权衡，手动决定基于期望的图像质量和压缩大小的最佳 K 值。
成本函数的优化
监督学习算法提出一个成本函数，然后使用梯度下降法（Greater Descent）或其他方法来优化该成本函数。作为非监督算法的K-Means 同样在优化一个特定的成本函数，尽管其优化算法不是梯度下降法。K-Means 算法的核心目标是最小化样本点到其所属聚类中心的距离平方和，这个距离平方和也就是畸变函数（distortion function），它是 K-Means 算法的优化目标。
优化公式的定义
假设我们有 m 个样本 ，每个样本
是一个 n 维向量，要将这些样本划分为 K 个聚类。用
表示样本
所属的聚类编号（
），
表示第 k 个聚类的中心（也是一个 n 维向量）。那么，K-Means 算法的优化目标就是最小化畸变函数 J，其公式如下：
其中：
表示样本
优化步骤
K-Means 算法通过迭代的方式来逐步优化畸变函数 J，主要分为两个步骤：
分配步骤（Assignment Step）
固定聚类中心 ，更新每个样本的所属聚类
，使得畸变函数 J 最小化。具体来说，对于每个样本
，将其分配到距离最近的聚类中心所属的聚类中，即：
其中， 表示使得后面的表达式取得最小值的 k 值。
更新步骤（Update Step）
固定每个样本的所属聚类 ，更新每个聚类的中心
，使得畸变函数 J 最小化。具体来说，对于每个聚类 k，将其中心更新为该聚类中所有样本的均值，即：
其中， 表示所有属于聚类 k 的样本的总和，
表示属于聚类 k 的样本数量。
Python 代码示例
下面是一个简单的 Python 代码示例，用于更直观解释 K-Means 算法并优化畸变函数
python
import numpy as np
def kmeans(X, K, max_iterations=100):
# 随机初始化聚类中心
indices = np.random.choice(len(X), K, replace=False)
centroids = X[indices]
for _ in range(max_iterations):
# 分配步骤
distances = np.array([np.linalg.norm(X - centroid, axis=1) for centroid in centroids])
labels = np.argmin(distances, axis=0)
# 更新步骤
new_centroids = np.array([X[labels == k].mean(axis=0) for k in range(K)])
# 判断是否收敛
if np.allclose(centroids, new_centroids):
break
centroids = new_centroids
return labels, centroids
# 示例数据
X = np.array([[1, 2], [1, 4], [1, 0], [4, 2], [4, 4], [4, 0]])
K = 2
# 运行K-Means算法
labels, centroids = kmeans(X, K)
print("聚类标签:", labels)
print("聚类中心:", centroids)