【漫话机器学习系列】211.驻点（Stationary Points）

驻点（Stationary Points）：理解函数导数为零的关键位置

在数学分析、机器学习优化、物理建模等领域中，**驻点（Stationary Points）**是一个非常重要的概念。它们是函数图像中"停下来的点"，即导数为零的点，往往也是我们寻找极值（最大值、最小值）或判断函数走向变化的关键。

本文将借助图示，深入解析驻点的定义、几种类型、判断方法及其在优化中的实际应用。

如上图所示，驻点是函数导数为零的点，也就是说，在这些点上，函数的切线斜率为零，图像"平坦"下来。

数学上，如果函数 f(x) 可导，则当：

时，点就是函数的一个驻点。

图中红色标注的两个点，就是典型的驻点，一个对应"局部极大值"，一个对应"局部极小值"。

驻点常常是我们寻找函数最值的起点。在优化问题中，例如我们希望最小化某个损失函数，首先就需要找到所有导数为 0 的点（即驻点），然后进一步判断这些点中哪些是真正的最小值。

此外，驻点在以下几个方面扮演重要角色：

需要注意的是：并不是所有驻点都是极值点。

驻点分为三类：

因此，要判断一个驻点的性质，必须结合二阶导数或其他方法进一步分析。

方法一：使用二阶导数判别法：

设，且 f 可导两次。

方法二：使用变号法：

观察导数 f'(x) 在驻点左右的符号：

驻点在机器学习优化中是核心概念之一，尤其是在使用**梯度下降（Gradient Descent）**等算法时：

图中简洁地展示了一个典型函数曲线，两个红点即为导数为零的驻点：

驻点，是函数"暂时停止变化"的位置，是通向极值与最优解的必经之地。