1.数字三角形
题目描述
上图给出了一个数字三角形。从三角形的顶部到底部有很多条不同的路径。对于每条路径，把路径上面的数加起来可以得到一个和，你的任务就是找到最大的和（路径上的每一步只可沿左斜线向下或右斜线向下走）。
输入描述
输入的第一行包含一个整数 N (1≤N≤100)N (1≤N≤100)，表示三角形的行数。
下面的 NN 行给出数字三角形。数字三角形上的数都是 00 至 9999 之间的整数。
输出描述
输出一个整数，表示答案。
输入输出样例
示例
输入
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5输出
30动态规划解题思路
看到"三角形最大路径和"问题，直接想到"动态规划"
动态规划的核心思想：把原问题分解为相对简单的子问题，通过求解子问题的最优解来构建原问题的最优解。
动态规划的状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + a[i][j]
利用动态规划求最大路径和的思路：从三角形的倒数第二行开始，自底向上逐层更新每个位置的最大路径和。
解题步骤模板：
for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
if (a[i + 1][j] >= a[i + 1][j + 1]) {
a[i][j] += a[i + 1][j];
} else {
a[i][j] += a[i + 1][j + 1];
}
}
}
System.out.println(a[1][1]);示例代码模板：
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String args[]) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
// 获取行数
int n = sc.nextInt();
// 创建二维数组存储三角形
int[][] a = new int[n + 1][n + 1];
// 填充二维数组
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
a[i][j] = sc.nextInt();
}
}
// 动态规划填充数组
for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
if (a[i + 1][j] >= a[i + 1][j + 1]) {
a[i][j] += a[i + 1][j];
} else {
a[i][j] += a[i + 1][j + 1];
}
}
}
// 输出结果
System.out.println(a[1][1]);
sc.close();
}
}思维导图：
训练方法：
按照这个模板，先通过小规模示例数据测试，理解每个步骤的作用。然后尝试自己编写代码实现，确保理解每一步的逻辑。最后用大规模数据进行测试，观察性能表现，理解动态规划相比递归的优势。
2. 42点问题
题目描述
请你设计一个程序对该问题进行解答。
众所周知在扑克牌中，有一个老掉牙的游戏叫做 2424 点，选取 44 张牌进行加减乘除，看是否能得出 2424 这个答案。
现在小蓝同学发明了一个新游戏，他从扑克牌中依次抽出6张牌，注意不是一次抽出，进行计算，看是否能够组成 4242 点,满足输出 YES，反之输出 NO。
最先抽出来的牌作为第一个操作数，抽出牌做第二个操作数，运算结果再当作第一个操作数，继续进行操作。
注：除不尽的情况保留整数，而且扑克牌的四张 1010 都丢了，不会出现 1010，1和A都可能出现并表示1。
请设计一个程序对该问题进行解答。
输入描述
输出仅一行包含 66 个字符。
保证字符 ∈∈ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 J Q K A。
输出描述
若给出到字符能够组成 4242 点 , 满足输出 YES，反之输出 NO。
输入输出样例
示例
输入
K A Q 6 2 3 输出
YES样例说明
- K×A=KK×A=K 即 13×1=1313×1=13
- 13/12=113/12=1 保留整数
- 1+6=71+6=7
- 7∗2=147∗2=14
- 14∗3=4214∗3=42
二维Vector逐层运算解题思路
看到"多步骤数学运算问题"或者"24点"游戏类问题，直接想到"逐层穷举所有可能"
二维Vector存储的核心思想：利用逐层运算，穷举所有可能的运算组合。
逐层运算的公式：当前层结果 = 前一层结果 ±/*// 当前数字 （注意：这里需要考虑所有运算的合法性，比如除数不能为零）
利用二维Vector逐层运算的思路：从初始值开始，逐层应用所有可能的运算，存储每一步的结果，直到达到目标层或满足某种终止条件。
解题步骤模板：
// 定义一个二维 Vector，用于存储每一步的计算结果
Vector<Vector<Integer>> ans = new Vector<Vector<Integer>>();
// 初始化第一个元素，表示初始状态
ans.addElement(new Vector<Integer>());
ans.get(0).addElement(a[0]); // 假设 a 是一个已定义的数组，这里添加初始值
// 从第1层到第n层，逐层计算可能的运算结果
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 为当前层创建一个新的 Vector
ans.addElement(new Vector<Integer>());
// 遍历前一层的所有元素
for (int j = 0; j < ans.get(i - 1).size(); j++) {
// 对当前元素进行加、减、乘、除四种运算，并将结果添加到当前层
ans.get(i).addElement(ans.get(i - 1).get(j) + a[i]); // 加法
ans.get(i).addElement(ans.get(i - 1).get(j) - a[i]); // 减法
ans.get(i).addElement(ans.get(i - 1).get(j) * a[i]); // 乘法
ans.get(i).addElement(ans.get(i - 1).get(j) / a[i]); // 除法（注意：这里没有处理除数为0的情况）
}
}示例代码模板：
import java.util.Vector;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
// 定义一个二维 Vector，用于存储每一步的计算结果
Vector<Vector<Integer>> ans = new Vector<Vector<Integer>>();
// 初始化一个数组，表示需要操作的数字
int[] a = { 2, 3, 4, 5, 6 };
// 初始化第一个元素，表示初始状态
ans.addElement(new Vector<Integer>());
ans.get(0).addElement(a[0]); // 将初始值添加到第0层
// 从第1层到第4层，逐层计算可能的运算结果
for (int i = 1; i <= 4; i++) {
// 为当前层创建一个新的 Vector
ans.addElement(new Vector<Integer>());
// 遍历前一层的所有元素
for (int j = 0; j < ans.get(i - 1).size(); j++) {
// 对当前元素进行加、减、乘、除四种运算
ans.get(i).addElement(ans.get(i - 1).get(j) + a[i]); // 加法
ans.get(i).addElement(ans.get(i - 1).get(j) - a[i]); // 减法
ans.get(i).addElement(ans.get(i - 1).get(j] * a[i]; // 乘法
ans.get(i).addElement(ans.get(i - 1).get(j] / a[i]); // 除法（注意：这里没有处理除数为0的情况）
}
}
// 打印结果（这里可以选择最后一层的所有可能结果）
System.out.println("Final results for the 5th step:");
for (int num : ans.get(4)) {
System.out.println(num);
}
}
}思维导图：
训练方法：
-
先理解二维
Vector的结构和用途，确保能够正确初始化和操作Vector。 -
找一个简单的例子，比如
a = {2, 3}, 手动计算可能的运算结果，然后用代码验证。 -
再尝试用代码实现一个复杂一点的例子，比如
a = {2, 3, 4}, 观察输出结果是否符合预期。 -
考虑特殊情况，如除数为零的情况，添加相应的错误处理代码。
-
优化代码，避免重复计算，提高效率。
自学蓝桥杯笔记,希望我们可以一起学习!
