抛硬币背后的秘密-通俗玩转二项分布

在日常生活中，我们经常会遇到"在多次尝试中成功多少次"的问题：抛硬币、检验产品合格率、评估考试通过人数......二项分布正是用来回答这类问题的有力工具。本文将从零开始，通俗地理解二项分布的原理与公式，配合丰富的真实案例，并通过 Python 演示模拟与计算，介绍这一经典分布。

1. 简介

二项分布（Binomial Distribution）是一种离散型概率分布，用于描述在固定次数的独立重复试验中，某事件出现"成功"次数的概率规律。 每次试验只有两种可能结果：成功（success）或失败（failure），因此也称为伯努利试验的多次重复。

2. 基本概念

伯努利试验（Bernoulli Trial） ：单次试验只有"成功/失败"两种结果，其成功概率为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p p </math>p，失败概率为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 − p 1-p </math>1−p。
独立重复：多次试验互不影响，每次成功概率保持不变。
随机变量定义 ：令第 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> i i </math>i 次试验的结果记为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> X i X_i </math>Xi：

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> X i = { 1 , 成功 , 0 , 失败 . X_i = \begin{cases} 1, & \text{成功},\\ 0, & \text{失败}. \end{cases} </math>Xi={1,0,成功,失败.

则总成功次数为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> Y = ∑ i = 1 n X i Y= \sum_{i=1}^{n} X_i </math>Y=∑i=1nXi， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> Y Y </math>Y 服从二项分布, 记为： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> Y ∼ B ( n , p ) Y∼B(n,p) </math>Y∼B(n,p)。

3. 重要数学公式

若 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> Y ∼ B ( n , p ) Y∼B(n,p) </math>Y∼B(n,p) ，则其概率质量函数（PMF）为：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> P ( Y = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , ... , n P(Y=k)= C_n^k p^k (1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\dots,n </math>P(Y=k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,...,n

期望： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> E [ Y ] = n p E[Y]=np </math>E[Y]=np
方差： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> V a r ( Y ) = n p ( 1 − p ) Var(Y)=np(1−p) </math>Var(Y)=np(1−p)

4. 现实生活中的应用

抛硬币 ：抛n次公正硬币，正面朝上的次数服从 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> B ( n , 0.5 ) B(n,0.5) </math>B(n,0.5)。
质量检验 ：工厂随机抽取n件产品检测，合格品数量服从 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> B ( n , p ) B(n,p) </math>B(n,p)，其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p p </math>p 是总体合格率。

5. Python 绘制概率密度函数

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> Y ∼ B ( 20 , 0.5 ) Y∼B(20,0.5) </math>Y∼B(20,0.5)，表示投掷N=20次硬币，每次投掷成功（正面）的概率p=0.5，绘制其概率密度函数图像进一步说明：

python 复制代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import binom
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")
# 忽略警告输出
plt.rcParams["font.family"] = 'Arial Unicode MS'
#⽤来正常显示中⽂标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

n = 20   # 共实验20次
p = 0.5	 # 单次实验成功的概率
k = np.arange(n + 1)

# 计算 PMF
pmf = binom.pmf(k, n, p)

# 绘图
plt.figure()
plt.plot(k, pmf, marker='o')
plt.xlabel('成功次数 $k$')
plt.ylabel('概率 $P(Y=k)$')
plt.title('二项分布 $B(n=20, p=0.5)$ 的概率质量函数 (PMF)')
plt.grid(True)
plt.show()

绘制图像如下：

函数图像解释：

横坐标（X 轴）

表示随机变量 X 的取值，也就是在N（这里的N=20）次独立伯努利试验中"成功"的次数 k, 这里k取值从 0 到 20，对应所有可能出现的成功次数。
纵坐标（Y 轴）

表示投掷20次硬币，恰好出现 k次成功的概率值，即概率质量函数（PMF）的取值，数值域为 [0,1]。
离散概率分布 二项分布是离散分布，只有在整数点 k=0,1,...,n上有意义，图中各点的高度即对应该取值发生的概率。所有高度之和为 1，反映所有可能结果的概率总和。
直观比较

通过观察不同 k值处的高度，可以迅速看出"最可能"出现多少次成功（即峰值位置），以及极端情况（如全部成功或全部失败）的罕见程度。
参数影响
- 增大 N 会使横轴范围变宽，分布更平缓；
- 改变成功概率 p 会使峰值向左（p<0.5）或向右（p>0.5）偏移，体现偏态分布特征。

6. 拓展

泊松近似（Poisson Approximation）：当 n 很大且 p 很小时，二项分布可近似为泊松分布。
正态近似（Normal Approximation）：若 np和 n(1−p) 都较大，可用正态分布近似二项分布。
Beta-二项分布（Beta-Binomial）：当成功概率 p不固定，而服从 Beta 分布时对应的推广模型。