Leetcode837.新21点

题目

算法标签: 数学, 概率, 动态规划

思路

定义状态表示为 f $i$ f $i$ f $i$ , 表示分数达到 i i i的时候的概率, 分析状态计算, 假设当前的分数是 i i i, 抽取到的牌得分数是 x x x, 那么当前状态就会转移到 f $i + x$ f $i + x$ f $i+x$ , 状态转移方程如下

d p $i$ = 1 maxPts ( d p $i + 1$ + d p $i + 2$ + ⋯ + d p $i + maxPts$ ) dp $i$ = \frac{1}{\text{maxPts}} \left( dp $i+1$ + dp $i+2$ + \cdots + dp $i+\\text{maxPts}$ \right) dp $i$ =maxPts1(dp $i+1$ +dp $i+2$ +⋯+dp $i+maxPts$ )

计算时间复杂度, 外层枚举分数, 内层也需要枚举分数, 总的时间复杂度来到了 O ( n 2 ) O(n ^ 2) O(n2), 时间复杂度过高, 需要进行优化, 推 i = i − 1 i = i - 1 i=i−1时的表达式

d p $i - 1$ = 1 maxPts ( d p $i$ + d p $i + 1$ + ⋯ + d p $i + maxPts - 1$ ) dp $i - 1$ = \frac{1}{\text{maxPts}} \left( dp $i$ + dp $i+1$ + \cdots + dp $i+\\text{maxPts - 1}$ \right) dp $i-1$ =maxPts1(dp $i$ +dp $i+1$ +⋯+dp $i+maxPts - 1$ )

设 t = m a x P t s t = maxPts t=maxPts, f $i$ = f $i + 1$ × t + f $i + 1$ − f $i + t + 1$ t f $i$ = \frac {f $i + 1$ \times t + f $i + 1$ - f $i + t + 1$ }{t} f $i$ =tf $i+1$ ×t+f $i+1$ −f $i+t+1$ , 整理后得到

f $i$ = f $i + 1$ + f $i + 1$ − f $i + t + 1$ t f $i$ = f $i + 1$ + \frac {f $i + 1$ - f $i + t + 1$ } {t} f $i$ =f $i+1$ +tf $i+1$ −f $i+t+1$

这样就将时间复杂度降低到 O ( n ) O(n) O(n)

代码

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <map>

using namespace std;

const int N = 2e4 + 10;

class Solution {
public:
    double new21Game(int n, int k, int maxPts) {
        if (k == 0) return 1.0;

        //当前分数是i, 并且分数不超过n的概率
        double f[N] = {0};
        for (int i = k; i <= n && i < k + maxPts; ++i) f[i] = 1.0;

        //计算当前分数是i再抽一张牌, 得分不超过n的概率
        f[k - 1] = 1.0 * min(n - k + 1, maxPts) / maxPts;

        for (int i = k - 2; i >= 0; --i) {
            f[i] = f[i + 1] + (f[i + 1] - f[i + maxPts + 1]) / maxPts;
        }

        return f[0];
    }
};

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