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题目
算法标签: 数学, 概率, 动态规划
思路
定义状态表示为 f [ i ] f[i] f[i], 表示分数达到 i i i的时候的概率, 分析状态计算, 假设当前的分数是 i i i, 抽取到的牌得分数是 x x x, 那么当前状态就会转移到 f [ i + x ] f[i + x] f[i+x], 状态转移方程如下
d p [ i ] = 1 maxPts ( d p [ i + 1 ] + d p [ i + 2 ] + ⋯ + d p [ i + maxPts ] ) dp[i] = \frac{1}{\text{maxPts}} \left( dp[i+1] + dp[i+2] + \cdots + dp[i+\text{maxPts}] \right) dp[i]=maxPts1(dp[i+1]+dp[i+2]+⋯+dp[i+maxPts])
计算时间复杂度, 外层枚举分数, 内层也需要枚举分数, 总的时间复杂度来到了 O ( n 2 ) O(n ^ 2) O(n2), 时间复杂度过高, 需要进行优化, 推 i = i − 1 i = i - 1 i=i−1时的表达式
d p [ i − 1 ] = 1 maxPts ( d p [ i ] + d p [ i + 1 ] + ⋯ + d p [ i + maxPts - 1 ] ) dp[i - 1] = \frac{1}{\text{maxPts}} \left( dp[i] + dp[i+1] + \cdots + dp[i+\text{maxPts - 1}] \right) dp[i−1]=maxPts1(dp[i]+dp[i+1]+⋯+dp[i+maxPts - 1])
设 t = m a x P t s t = maxPts t=maxPts, f [ i ] = f [ i + 1 ] × t + f [ i + 1 ] − f [ i + t + 1 ] t f[i] = \frac {f[i + 1] \times t + f[i + 1] - f[i + t + 1]}{t} f[i]=tf[i+1]×t+f[i+1]−f[i+t+1], 整理后得到
f [ i ] = f [ i + 1 ] + f [ i + 1 ] − f [ i + t + 1 ] t f[i] = f[i + 1] + \frac {f[i + 1] - f[i + t + 1]} {t} f[i]=f[i+1]+tf[i+1]−f[i+t+1]
这样就将时间复杂度降低到 O ( n ) O(n) O(n)
代码
cpp
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <map>
using namespace std;
const int N = 2e4 + 10;
class Solution {
public:
double new21Game(int n, int k, int maxPts) {
if (k == 0) return 1.0;
//当前分数是i, 并且分数不超过n的概率
double f[N] = {0};
for (int i = k; i <= n && i < k + maxPts; ++i) f[i] = 1.0;
//计算当前分数是i再抽一张牌, 得分不超过n的概率
f[k - 1] = 1.0 * min(n - k + 1, maxPts) / maxPts;
for (int i = k - 2; i >= 0; --i) {
f[i] = f[i + 1] + (f[i + 1] - f[i + maxPts + 1]) / maxPts;
}
return f[0];
}
};