Dijkstra

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背景

实现

过程

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前置知识：堆数据结构-堆-CSDN博客

背景

还记得BFS中是逐层 拓展的吗，那么首先到达k点的一定是该层中离k最近的

但是BFS拓展过程中每层的间隔是一样的

现在我们要处理更一般的问题：如果**边权（路径代价不同）**不一样怎么办？

这就用到了我们的Dijkstra算法- 带权重的BFS

这是一种"单源"最短路径算法（无法处理负权），一次计算能得到一个起点s到其他所有点的最短路径

一般来说有：Dijkstra = BFS + 优先队列

不同于普通BFS"谁先进队就先处理谁"，Dijkstra算法是贪心 ：优先处理当前代价最小的点（因为按照当前最小代价出队的时候它的最短路径就被确定了）

实现

heapq和PriorityQueue两种方法都可以（但是只有heapq在标准库里）

def dijkstra(e, s):
    """
    输入：
    e:邻接表
    s:起点
    返回：
    dis:从s到每个顶点的最短路长度
    """
    dis = defaultdict(lambda: float("inf"))
    dis[s] = 0
    q = [(0, s)]
    vis = set()
    while q:
        _, u = heapq.heappop(q)
        if u in vis:
            continue
        vis.add(u)
        for v, w in e[u]:
            if dis[v] > dis[u] + w:
                dis[v] = dis[u] + w
                heapq.heappush(q, (dis[v], v))
    return dis

堆中每个元素是（步数，位置）

dis中存储了从起点到各点的距离

对于每一个（当前步数，当前位置u）：

先记忆性：如果已经访问过u（已经走过的那肯定是前面走的时候更短），那么就下一个邻居

遍历邻接列表【当前位置u】：#遍历u的能到的地方v

如果从起点先到u，再从u到v 要小于 直接从s到v：

那么更新dis【v】

并且往堆中添加（到v的代价，v） #找到一个更短路径了，后面再次处理

过程

我们将节点分为两个集合，这就是我们Dijstra算法主要维护的对象：一个集合存储已确定最短路长度的所有点（记为S）；另一个集合存储未确定最短路长度的所有点（记为T）

那么一开始所有点都在 T 中

初始化 dis(s)=0 ，其他点的 dis 均为无穷大（未到达）

下面我们要循环两个操作：（直到所有点都到 S 集合中，也就是确定最短路，再结束）

1. 从 T 集合中选取一个最短路长度最小的节点，移到 S 集合中

2. 对那些刚被加入 S 集合的节点的所有出边执行松弛操作