【高数上册笔记01】：从集合映射到区间函数

【参考资料】

同济大学《高等数学》教材
樊顺厚老师B站《高等数学精讲》系列课程（注：本笔记为个人数学复习资料，旨在通过系统化整理替代厚重教材，便于随时查阅与巩固知识要点）

仅用于个人数学复习，因为课本太厚了而且不方便带着，所以才整理这样一份笔记。

文章目录

- 一、集合
- - [1.1 集合的性质](#1.1 集合的性质)
  - [1.2 常见数集](#1.2 常见数集)
  - [1.3 集合的运算](#1.3 集合的运算)
- 二、映射
- - [2.1 映射基本概念](#2.1 映射基本概念)
  - [2.2 映射分类](#2.2 映射分类)
  - [2.3 映射的性质与应用](#2.3 映射的性质与应用)
  - [2.4 狄利克雷和符号](#2.4 狄利克雷和符号)
  - - [2.4.1 狄利克雷函数](#2.4.1 狄利克雷函数)
    - [2.4.2 符号函数](#2.4.2 符号函数)
- 三、区间和邻域
- - [3.1 区间](#3.1 区间)
  - [3.2 邻域](#3.2 邻域)
- 四、函数
- - [4.1 函数特性](#4.1 函数特性)
  - [4.2 六个基本初等函数](#4.2 六个基本初等函数)
  - [4.3 极值、最值、拐点](#4.3 极值、最值、拐点)

一、集合

集合（set）是由确定的、互异的、无序的对象（称为元素）组成的整体。若 x ∈ A x \in A x∈A 表示 x x x 是集合 A A A 的元素， x ∉ A x \notin A x∈/A 表示 x x x 不是集合 A A A 的元素。

列举法 ：将集合的所有元素一一列出。如： { 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\} {1,2,3}

描述法 ：通过元素的共同属性描述集合。如： { x ∈ R ∣ x > 0 } \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\} {x∈R∣x>0}

1.1 集合的性质

确定性：集合中的元素必须是明确的。
互异性：集合中的元素互不相同。
无序性：集合中的元素没有顺序之分。

1.2 常见数集

自然数集： N = { 0 , 1 , 2 , ... } \mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\} N={0,1,2,...}
正整数集： N + = { 1 , 2 , 3 , ... } \mathbb{N}^+ = \{1,2,3,\dots\} N+={1,2,3,...}
整数集： Z = { ... , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , ... } \mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\} Z={...,−2,−1,0,1,2,...}
有理数集： Q = { p q ∣ p ∈ Z , q ∈ Z + } \mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{Z}^+ \right\} Q={qp∣p∈Z,q∈Z+}
实数集： R \mathbb{R} R

1.3 集合的运算

基本运算

并集： A ∪ B = { x ∣ x ∈ A 或 x ∈ B } A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\} A∪B={x∣x∈A 或 x∈B}
交集： A ∩ B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∈ B } A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\} A∩B={x∣x∈A 且 x∈B}
差集： A ∖ B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∉ B } A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B\} A∖B={x∣x∈A 且 x∈/B}
补集：设全集为 U U U，则 A A A 的补集为 ∁ U A = U ∖ A \complement_U A = U \setminus A ∁UA=U∖A
笛卡尔积： A × B = { ( a , b ) ∣ a ∈ A , b ∈ B } A \times B = \{(a,b) \mid a \in A, b \in B\} A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}

运算律

交换律： A ∪ B = B ∪ A A \cup B = B \cup A A∪B=B∪A， A ∩ B = B ∩ A A \cap B = B \cap A A∩B=B∩A
结合律： ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) (A∪B)∪C=A∪(B∪C)， ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
分配律： A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)， A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

二、映射

2.1 映射基本概念

设 X X X 和 Y Y Y 是两个非空集合，若存在一个法则 f f f，使得对 X X X 中的每个元素 x x x，在 Y Y Y 中有唯一确定的元素 y y y 与之对应，则称 f f f 为从 X X X 到 Y Y Y 的映射，记作：
f : X → Y f:X \rightarrow Y f:X→Y

其中， y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 称为 x x x 在映射 f f f 下的像， x x x 称为 y y y 的原像。

映射的三要素

定义域： D f = X D_f = X Df=X
对应法则： f f f
值域： R f = f ( X ) = { f ( x ) ∣ x ∈ X } ⊂ Y R_f = f(X) = \{ f(x) \mid x \in X \} \subset Y Rf=f(X)={f(x)∣x∈X}⊂Y

2.2 映射分类

满射（Surjective）

若映射的值域等于目标集 Y Y Y，即 R f = Y R_f = Y Rf=Y，则称 f f f 为满射。定义：对任意 y ∈ Y y \in Y y∈Y，存在 x ∈ X x \in X x∈X，使得 f ( x ) = y f(x) = y f(x)=y。
单射（Injective）

若 X X X 中任意两个不同元素 x 1 ≠ x 2 x_1 \ne x_2 x1=x2 的像也不同，即 f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) f(x_1) \ne f(x_2) f(x1)=f(x2)，则称 f f f 为单射。
双射（Bijective）

若映射 f f f 既是单射又是满射，则称其为双射（一一映射）。
性质：双射存在唯一的逆映射 f − 1 : Y → X f^{-1}: Y \rightarrow X f−1:Y→X。

满射： f : R → [ 0 , + ∞ ) , f ( x ) = x 2 \text{满射：} f: \mathbb{R} \rightarrow [0, +\infty), \quad f(x) = x^2 满射：f:R→[0,+∞),f(x)=x2
双射： f : R → R , f ( x ) = 2 x + 3 \text{双射：} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = 2x + 3 双射：f:R→R,f(x)=2x+3
单射： f : R → R , f ( x ) = e x \text{单射：} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = e^x 单射：f:R→R,f(x)=ex

2.3 映射的性质与应用

逆映射
设 f : X → Y f:X \rightarrow Y f:X→Y 是单射，则存在逆映射 f − 1 : R f → X f^{-1}: R_f \rightarrow X f−1:Rf→X，满足：
f − 1 ( y ) = x 当且仅当 f ( x ) = y f^{-1}(y) = x \quad \text{当且仅当} \quad f(x) = y f−1(y)=x当且仅当f(x)=y
注意：只有单射才能定义逆映射！

复合映射
设 f : X → Y f:X \rightarrow Y f:X→Y 和 g : Y → Z g:Y \rightarrow Z g:Y→Z 是两个映射，若 R f ⊂ D g R_f \subset D_g Rf⊂Dg，则可定义复合映射 h : X → Z h:X \rightarrow Z h:X→Z，记作 h = g ∘ f h = g \circ f h=g∘f，满足：
h ( x ) = g ( f ( x ) ) 对所有 x ∈ X h(x) = g(f(x)) \quad \text{对所有} \quad x \in X h(x)=g(f(x))对所有x∈X

映射的等价性
映射 f : X → Y f:X \rightarrow Y f:X→Y 是双射，当且仅当存在映射 g : Y → X g:Y \rightarrow X g:Y→X，使得 f ∘ g = id Y f \circ g = \text{id}_Y f∘g=idY 且 g ∘ f = id X g \circ f = \text{id}_X g∘f=idX，其中 id X \text{id}_X idX 是 X X X 上的恒等映射。

2.4 狄利克雷和符号

2.4.1 狄利克雷函数

定义：
D ( x ) = { 1 , x ∈ Q 0 , x ∉ Q D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases} D(x)={1,0,x∈Qx∈/Q
性质：

定义域： R \mathbb{R} R
值域： { 0 , 1 } \{0,1\} {0,1}
无最小正周期（任何正有理数都是其周期）。

2.4.2 符号函数

定义：
sgn ( x ) = { 1 , x > 0 0 , x = 0 − 1 , x < 0 \text{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases} sgn(x)=⎩ ⎨ ⎧1,0,−1,x>0x=0x<0
性质：

分段函数，值域为 { − 1 , 0 , 1 } \{-1,0,1\} {−1,0,1}
满足 x = sgn ( x ) ⋅ ∣ x ∣ x = \text{sgn}(x) \cdot |x| x=sgn(x)⋅∣x∣

三、区间和邻域

3.1 区间

定义：区间是实数集的一个子集，通常表示为两个端点之间的连续范围。

分类：

闭区间：包含端点 a a a 和 b b b，记作 [ a , b ] = { x ∈ R ∣ a ≤ x ≤ b } [a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\} [a,b]={x∈R∣a≤x≤b}
开区间：不包含端点 a a a 和 b b b，记作 ( a , b ) = { x ∈ R ∣ a < x < b } (a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\} (a,b)={x∈R∣a<x<b}
半开区间：包含一个端点，不包含另一个端点，记作 [ a , b ) [a, b) [a,b) 或 ( a , b ] (a, b] (a,b]

区间的几何表示：

闭区间：线段两端点用实心点表示。
开区间：线段两端点用空心点表示。
半开区间：一端用实心点，另一端用空心点表示。

3.2 邻域

点 a a a 的 δ \delta δ 邻域：设 δ > 0 \delta > 0 δ>0，则开区间 ( a − δ , a + δ ) (a - \delta, a + \delta) (a−δ,a+δ) 称为点 a a a 的 δ \delta δ 邻域，记作 U ( a , δ ) U(a, \delta) U(a,δ)。中心：点 a a a ，半径： δ \delta δ

去心邻域：若去掉邻域的中心 a a a，则称为点 a a a 的去心 δ \delta δ 邻域，记作 U ∘ ( a , δ ) U^\circ(a, \delta) U∘(a,δ)，即：
U ∘ ( a , δ ) = { x ∈ R ∣ 0 < ∣ x − a ∣ < δ } U^\circ(a, \delta) = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < |x - a| < \delta\} U∘(a,δ)={x∈R∣0<∣x−a∣<δ}

左 δ \delta δ 邻域：开区间 ( a − δ , a ) (a - \delta, a) (a−δ,a)

右 δ \delta δ 邻域：开区间 ( a , a + δ ) (a, a + \delta) (a,a+δ)

四、函数

4.1 函数特性

有界性
定义：函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 I I I 上有界，若存在常数 M > 0 M > 0 M>0，使得对所有 x ∈ I x \in I x∈I，有 ∣ f ( x ) ∣ ≤ M |f(x)| \le M ∣f(x)∣≤M。
无界性 ：若不存在这样的 M M M，则称 f ( x ) f(x) f(x) 在 I I I 上无界。
单调性
- 单调递增 ：若 x 1 < x 2 x_1 < x_2 x1<x2 时， f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) f(x_1) \le f(x_2) f(x1)≤f(x2)，则称 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 I I I 上单调递增。
- 单调递减 ：若 x 1 < x 2 x_1 < x_2 x1<x2 时， f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) f(x_1) \ge f(x_2) f(x1)≥f(x2)，则称 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 I I I 上单调递减。
- 严格单调性 ：将" ≤ \le ≤"或" ≥ \ge ≥"替换为" < < <"或" > > >"即可。
奇偶性
- 偶函数 ：若 f ( − x ) = f ( x ) f(-x) = f(x) f(−x)=f(x)，则 f ( x ) f(x) f(x) 是偶函数，图象关于 y y y 轴对称。
- 奇函数 ：若 f ( − x ) = − f ( x ) f(-x) = -f(x) f(−x)=−f(x)，则 f ( x ) f(x) f(x) 是奇函数，图象关于原点对称。
周期性：若存在正数 T T T，使得对所有 x x x，有 f ( x + T ) = f ( x ) f(x + T) = f(x) f(x+T)=f(x)，则称 f ( x ) f(x) f(x) 是周期函数， T T T 为其周期。最小的正周期称为基本周期。
- 正弦函数 f ( x ) = sin ⁡ x f(x) = \sin x f(x)=sinx 的基本周期为 2 π 2\pi 2π。
- 狄利克雷函数 D ( x ) D(x) D(x) 的任何正有理数都是其周期（无最小正周期）。

4.2 六个基本初等函数

常数函数
- f ( x ) = C f(x) = C f(x)=C（ C C C 为常数）
- 图像为水平直线，有界且周期性（无最小正周期）。
幂函数
- f ( x ) = x α f(x) = x^\alpha f(x)=xα（ α \alpha α 为常数）
- α > 0 \alpha > 0 α>0：图像经过点 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1)，在 x > 0 x > 0 x>0 时单调递增。
- α < 0 \alpha < 0 α<0：图像经过点 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1)，在 x > 0 x > 0 x>0 时单调递减。
指数函数
- f ( x ) = a x f(x) = a^x f(x)=ax（ a > 0 , a ≠ 1 a > 0, a \ne 1 a>0,a=1）
- a > 1 a > 1 a>1：单调递增。
- 0 < a < 1 0 < a < 1 0<a<1：单调递减。
对数函数
- f ( x ) = log ⁡ a x f(x) = \log_a x f(x)=logax（ a > 0 , a ≠ 1 a > 0, a \ne 1 a>0,a=1）
- a > 1 a > 1 a>1：单调递增。
- 0 < a < 1 0 < a < 1 0<a<1：单调递减。
三角函数
- 包括 sin ⁡ x , cos ⁡ x , tan ⁡ x \sin x, \cos x, \tan x sinx,cosx,tanx 等。
- 周期性： sin ⁡ x \sin x sinx 和 cos ⁡ x \cos x cosx 的周期为 2 π 2\pi 2π， tan ⁡ x \tan x tanx 的周期为 π \pi π。
- 奇偶性： sin ⁡ x \sin x sinx 为奇函数， cos ⁡ x \cos x cosx 为偶函数。
反三角函数
- 包括 arcsin ⁡ x , arccos ⁡ x , arctan ⁡ x \arcsin x, \arccos x, \arctan x arcsinx,arccosx,arctanx 等。
- arcsin ⁡ x \arcsin x arcsinx 和 arccos ⁡ x \arccos x arccosx 的定义域为 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]，值域分别为 [ − π 2 , π 2 ] [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] [−2π,2π] 和 [ 0 , π ] [0, \pi] [0,π]。
- arctan ⁡ x \arctan x arctanx 的定义域为 R \mathbb{R} R，值域为 ( − π 2 , π 2 ) (- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) (−2π,2π)。

4.3 极值、最值、拐点

极值：通过导数判断函数的极大值或极小值。

最值：在闭区间上连续的函数一定存在最大值和最小值。

拐点：函数图像凹凸性发生改变的点，通过二阶导数的符号变化确定。