试除法判断素数优化【C语言】

The_cute_cat2025-05-15 17:00

代码引用

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int is_prime(int num) {
	if (num <= 1) return 0;
	if (num == 2 || num == 3) return 1;
	if (num % 2 == 0 || num % 3 == 0) return 0;
	for (int i = 5; i * i <= num; i += 6) {
		if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0) return 0;
	}
	return 1;
}

一、数学原理

所有大于3的素数都可以写成 6k ± 1

(除2和3外所有素数都在6的邻域内)

为什么呢？因为所有整数都可以表示为6k、6k+1、6k+2、6k+3、6k+4、6k+5。其中，6k、6k+2、6k+4都是偶数，已经被num%2排除了。6k+3则是3的倍数，已经被num%3排除了。剩下的只有6k+1和6k+5（也就是6k-1）。

二、优化原理

1. 先排除特殊情况

cpp 复制代码

if (num <= 1) return 0; // 1以下的数不是素数
if (num == 2 || num == 3) return 1; // 2和3是素数
if (num % 2 == 0 || num % 3 == 0) return 0; // 能被2或3整除的，肯定不是素数

这些判断快速排除一些明显不是素数的情况，尤其是偶数和能被3整除的数，避免后续多余的计算。

2. 只检查到平方根

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for (int i = 5; i * i <= num; i += 6)

只需要检查到 sqrt(num) ，因为一个数如果有因子大于 sqrt()，对应的另一个因子必小于 sqrt()。

3. 以6的倍数间隔进行遍历

这是优化的关键：所有素数（除了2和3）都可以写成形式为 6k ± 1 的数（其中k为整数）。
这段代码只检查形如6k-1（即i）和6k+1（即i+2）的数是否能整除 num。

简单总结：

这个算法利用了素数的数学性质（除2和3外所有素数都在6的邻域内），通过跳过非潜在因子（非6k±1的数），在保留正确性和完整性的基础上，大大优化了判断速度。