机器学习第八讲：向量/矩阵 → 数据表格的数学表达，如Excel表格转数字阵列

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类比过程：
最陡峭方向登山者位置导数≈坡度检测仪坡度方向下一步落脚点重复直到达峰顶/谷底

这个导航过程就是微积分中的「梯度下降」算法原理

需求场景 ^[2](#2)：寻找发射角度θ使飞行高度最大

设高度公式：
H ( θ ) = v 2 sin ⁡ 2 θ 2 g H(θ) = \frac{v^2 \sin^2θ}{2g} H(θ)=2gv2sin2θ

求导找极值 ：

① 求导： d H d θ = v 2 sin ⁡ 2 θ g \frac{dH}{dθ} = \frac{v^2 \sin2θ}{g} dθdH=gv2sin2θ

② 令导数为0： sin ⁡ 2 θ = 0 \sin2θ=0 sin2θ=0 ⇒ θ = 4 5 ∘ θ=45^\circ θ=45∘

graph LR A[初始角度30°] --> B[导数为正→需增大角度] C[角度50°] --> D[导数为负→需减小角度] B & D --> E[最优解45°]

导数：变化率的显微镜

python 复制代码

# 代码示例：计算函数在x=2处的导数
def f(x):
    return 3*x**2 + 2*x +1
h = 0.0001  # 极微小变化量
derivative = (f(2+h) - f(2))/h  # 计算结果≈14

否是随机初始参数计算当前梯度梯度接近0? 沿负梯度方向更新参数输出最优参数

场景：训练智能秤自动校正误差

损失函数： L ( w ) = ( 真实重量 − w × 感应值 ) 2 L(w) = (真实重量 - w×感应值)^2 L(w)=(真实重量−w×感应值)2

梯度下降步骤：

初始化权重w=0.8
计算梯度： d L d w = − 2 ( 真实值 − w × 感应值 ) × 感应值 \frac{dL}{dw} = -2(真实值 - w×感应值)×感应值 dwdL=−2(真实值−w×感应值)×感应值
更新公式： w 新 = w − 学习率 × 梯度 w_{新} = w - 学习率×梯度 w新=w−学习率×梯度
重复直到梯度接近于0

动量加速法 （教材第八章进阶内容^[5](#5)）：
当前梯度带动量更新参数更新=γ×上次更新 + 学习率×梯度有效减少震荡

应用对比：

方法	迭代次数	收敛效果
基础梯度下降	1500次	轻微震荡
动量加速法	400次	平稳快速

微积分是量化决策的数学引擎，通过动态感知变化趋势引导系统不断逼近全局最优解 （教材第八章核心结论^[1](#1)）

（典型案例：Tesla自动驾驶系统通过微分方程实时优化行驶轨迹🚗）