4. 寻找两个正序数组的中位数
博主只会第一个暴力解法，然后将官网上的源码上添加些注释，尝试理解，分下今日刷题记录
题目描述
给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。
算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n))
解法一：暴力合并法（不符合题目要求的时间复杂度）
这种方法最为直观，但时间复杂度为 O((m+n)log(m+n))，不符合题目要求。
py
class Solution:
def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
nums = sorted(nums1 + nums2) # 合并并排序两个数组
n = len(nums)
result = 0
for i in range(n):
result += nums[i]
return result / n # 这里实际上计算的是平均值而非中位数，正确的中位数计算应为：
# 如果n为奇数，返回nums[n//2]
# 如果n为偶数，返回(nums[n//2-1] + nums[n//2])/2注意：上述代码中计算的是平均值而非中位数。正确的中位数计算应该是：
pythonif n % 2 == 1: return nums[n//2] else: return (nums[n//2-1] + nums[n//2]) / 2
解法二：二分查找法（符合题目要求的时间复杂度）
这种方法的核心思想是将"寻找中位数"转化为"寻找第k小的元素"的问题。
python
class Solution:
def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
def getKthElement(k):
"""
- 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1] 进行比较
- 这里的 "/" 表示整除
- nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
- nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
- 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <= k-2 个
- 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素
- 如果 pivot = pivot1，那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums1 数组
- 如果 pivot = pivot2，那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums2 数组
- 由于我们 "删除" 了一些元素（这些元素都比第 k 小的元素要小），因此需要修改 k 的值，减去删除的数的个数
"""
index1, index2 = 0, 0 # 初始化两个数组的起始索引
while True:
# 特殊情况处理
if index1 == m: # m是数组num1的长度，如果nums1已经全部被排除
return nums2[index2 + k - 1] # 直接返回nums2中的第k个元素
if index2 == n: #n是数组num2的长度 如果nums2已经全部被排除
return nums1[index1 + k - 1] # 直接返回nums1中的第k个元素
if k == 1: # 如果要找第1小的元素
return min(nums1[index1], nums2[index2]) # 返回两个数组当前位置的最小值
# 正常情况处理
newIndex1 = min(index1 + k // 2 - 1, m - 1) # 计算nums1中的比较位置，防止越界
newIndex2 = min(index2 + k // 2 - 1, n - 1) # 计算nums2中的比较位置，防止越界
pivot1, pivot2 = nums1[newIndex1], nums2[newIndex2] # 取出比较值
# 比较两个数组的元素，排除较小元素所在的部分
if pivot1 <= pivot2: # 如果nums1的元素较小
k -= newIndex1 - index1 + 1 # 更新k值，减去排除的元素个数
index1 = newIndex1 + 1 # 更新nums1的起始位置
else: # 如果nums2的元素较小
k -= newIndex2 - index2 + 1 # 更新k值，减去排除的元素个数
index2 = newIndex2 + 1 # 更新nums2的起始位置
m, n = len(nums1), len(nums2) # 获取两个数组的长度
totalLength = m + n # 计算总长度
# 根据总长度的奇偶性，计算中位数
if totalLength % 2 == 1: # 如果总长度为奇数
return getKthElement((totalLength + 1) // 2) # 返回中间的元素
else: # 如果总长度为偶数
return (getKthElement(totalLength // 2) + getKthElement(totalLength // 2 + 1)) / 2 # 返回中间两个元素的平均值详细解释
二分查找法的核心思想
-
问题转化：中位数可以转化为找第k小的元素
- 如果总长度为奇数，中位数是第(m+n+1)/2小的元素
- 如果总长度为偶数，中位数是第(m+n)/2小和第(m+n)/2+1小的元素的平均值
-
二分排除法：每次比较两个数组中第k/2个元素，排除较小值所在数组的前k/2个元素
算法流程图解
假设有两个数组：
- nums1 = 1, 3, 5, 7, 9
- nums2 = 2, 4, 6, 8, 10
要找这两个数组合并后的中位数：
- 总长度为10，是偶数，需要找第5小和第6小的元素的平均值
- 寻找第5小的元素：
- 比较nums15/2-1=nums11=3和nums25/2-1=nums21=4
- 3<4，排除nums1的1,3，k=3，nums1现在从索引2开始
- 比较nums13/2-1+2=nums13=7和nums23/2-1=nums20=2
- 7>2，排除nums2的2，k=2，nums2现在从索引1开始
- 比较nums12/2-1+2=nums12=5和nums22/2-1+1=nums21=4
- 5>4，排除nums2的4，k=1，nums2现在从索引2开始
- k=1，返回min(nums12, nums22)=min(5,6)=5
- 寻找第6小的元素（类似过程）：结果为6
- 中位数=(5+6)/2=5.5
时间复杂度分析
- 每次操作会排除k/2个元素
- 总共有m+n个元素，最多需要log(m+n)次操作
- 因此时间复杂度为O(log(m+n))，符合题目要求
空间复杂度分析
- 只使用了常数级别的额外空间
- 空间复杂度为O(1)
总结
- 暴力合并法：简单直观但不符合题目要求
- 二分查找法：通过每次排除一部分元素，达到O(log(m+n))的时间复杂度
- 关键在于将"寻找中位数"转化为"寻找第k小元素"的问题
- 通过比较两个数组中第k/2个元素，每次可以排除至少k/2个元素