复习：单层二次根式的化简
化简：
\[\sqrt {54188a^{114514}b^{45}} \]
这种题目已经是基本操作了。解析如下：
\[解：原式=\sqrt {2^2\cdot 13547\cdot (a^{57257})^2\cdot (b^{24})^2\cdot b} \]\[=2a^{57257}b^{24}\sqrt {13547b} \]
任意的单层二次根式，都可以通过这种方式化简而来。
多重二次根式
引入
化简：
\[\sqrt {4-2\sqrt 3} \]
这是什么根式套根式的玩意儿啊！怎么化简呢？
我们注意到，要想化简一个双层根式，至少应该先把一层根号去掉。
那你觉得\(\sqrt 3\)更好去根号，还是\(\sqrt {4-2\sqrt 3}\)更好去根号呢？
当然是希望去掉外层根号。
那么，在我们现在已学的公式中，有什么东西能把一个根号去掉呢？
\[\sqrt {a^2}=|a| \]
\[(\sqrt a)^2=a\{a>0\} \]
请从这两个公式上思考一下。
显然，把内部的\(4-2\sqrt 3\)化成某个根式的平方即可。完全平方公式是最好的选择。
恰好\(2\sqrt 3\)可以看做公式中的\(2ab\)。于是，我们希望找到两个式子\(a\)、\(b\)，使得\(ab=\sqrt 3\)，且要满足\(a^2+b^2=4\)。
你看着，\(ab\)都出现根号了，那\(a\)、\(b\)能不是根式吗？
因此，目标转化为：
求两个整数\(a\)、\(b\)，使得\(\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt {ab}=\sqrt 3\)即\(ab=3\)，且\((\sqrt a)^2+(\sqrt b)^2=a+b=4\)。
挨个试一试也出来了，\(a=1\)，\(b=3\)。最终，原式
\[=\sqrt {(\sqrt 1)^2-2\sqrt {1\cdot 3}+(\sqrt 3)^2} \]
\[=\sqrt {(\sqrt 1+\sqrt 3)^2} \]
\[=1+\sqrt 3 \]
好神奇呀。
化简方法：完全平方公式
如引入中所示。
下面拓展一些变式。
出题人看到了一个题目。
化简：
\[\sqrt {8-2\sqrt {12}} \]
你会做吗？当然会做啊，原式
\[=\sqrt {2+2\sqrt{2\cdot 6}+6} \]
\[=\sqrt {(\sqrt 2+\sqrt 6)^2} \]
\[=\sqrt 2+\sqrt 6 \]
出题人：太简单了太简单了，不符合我哈基米的气质。我来改一改。
化简：
\[\sqrt {8-4\sqrt 3} \]
刚刚会做，难道现在不会做了吗？原式
\[=\sqrt {8-2\sqrt {12}}=\sqrt 2+\sqrt 6 \]
变式\(1\)：把后面的根式化到最简，故意让你看不出来。
对策\(1\)：只要看见\(a+b\sqrt c\)的形式，尝试把\(b\)化成\(2\)。
出题人：可恶，这次得分率还是那么高。我再来改改。
化简：
\[\sqrt {2-\sqrt 3} \]
这下彻底炸了，\(b\)直接消失，还怎么化成\(2\)？
你忘了。\(b\)其实是\(1\)，被隐藏了。原式
\[=\sqrt {\frac {4-2\sqrt 3} 2} \]
\[=\sqrt {\frac {(1-\sqrt 3)^2} 2} \]
\[=\frac {1-\sqrt 3} {\sqrt 2} \]
最后再来一个分母有理化。
\[=\frac {\sqrt 2-\sqrt 6} 2 \]
变式\(2\)：把外层根式除个\(d\)，正好把\(b\)隐藏。
对策\(2\)：看不见\(b\)，立刻外层乘个\(2\)，分子常规化，分母有理化。