快速莫比乌斯变换
数学公式
- 记\(S\)为全集，\(T\)为其子集
\\\begin{align} \&zeta变换:F(S)=\\sum_{T\\subseteq S}f(T)\\\\ \\\\ \&莫比乌斯反演:f(S)=\\sum_{T\\subseteq S}(-1)\^{\|S\|-\|T\|}F(T) \\end{align} \\
- \(zeta\)变换与\(sosdp\)中的子集求和、超集求和一致，只不过这里的集合范畴不仅限于二进制集合
- 莫比乌斯反演的作用就在于将超集和或者子集和反演为原来的函数
代码实现（二进制集合）
\(zeta\)变换(子集和)
伪代码：
r
for 每一位 bit i:
for 每个 mask:
如果 mask 有第 i 位:
F[mask] += F[mask 去掉第 i 位]代码：
cpp
void zeta(vector<ll> &f, int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) { // 枚举每一位
for (int mask = 0; mask < (1 << n); mask++) {
if (mask & (1 << i)) { // 如果第 i 位是 1
f[mask] += f[mask ^ (1 << i)];
}
}
}
}\(Mobius\)反演
伪代码：
r
for 每一位 bit i:
for 每个 mask:
如果 mask 有第 i 位:
F[mask] -= F[mask 去掉第 i 位]代码：
cpp
void mobius(vector<ll> &f, int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int mask = 0; mask < (1 << n); mask++) {
if (mask & (1 << i)) {
f[mask] -= f[mask ^ (1 << i)];
}
}
}
}数论中的莫比乌斯反演
若有：
\F(n)=\\sum_{d\|n}f(d) \\
其中\(d|n\)表示\(d\)为\(n\)的因数
则有：
\f(n)=\\sum_{d\|n}\\mu(d)·F\\left( \\frac{n}{d} \\right) \\
其中\(\mu(d)\)为数论莫比乌斯函数，对应着莫比乌斯反演中的\((-1)^{|S|-|T|}\)；\(n\)对应着全集\(S\)；\(\frac{n}{d}\)对应着子集\(T\)
莫比乌斯函数的定义：
\\\mu(n)= \\begin{cases} \\begin{align} \&1,\&n=1\\\\ \\\\ \&(-1)\^k \&n是k个不同质数的乘积\\\\ \\\\ \&0 \&n有平方因子 \\end{align} \\end{cases} \\
基于欧拉筛的\(\mu\)函数代码：
cpp
int mu[MX], vis[MX], p[MX], cnt;
void init() {
mu[1] = 1;
rep(i, 2, MX - 1) {
if (!vis[i])p[++cnt] = i, mu[i] = -1;
for (int j = 1; i * p[j] < MX; j++) {
vis[i * p[j]] = 1;
if (i % p[j] == 0)break;
mu[i * p[j]] = -mu[i];
}
}
}例题：树上lcm
思路
设\(f(x)\)为路径\(lcm\)为\(x\)的简单路径数
由于涉及因数与求和，联想到莫比乌斯反演
\设f(x)=\\sum_{d\|x}\\mu(d)g\\left( \\frac{x}{d} \\right) \\
由莫比乌斯反演：
\g(n)=\\sum_{d\|n}f(d) \\
因此得到\(g(n)\)的定义：路径\(lcm\)为\(n\)的因数的简单路径数
因此可以先将整棵树上不是\(x\)的因数的节点删去，此时每个连通块内的任意两点构成的简单路径的\(lcm\)都是\(x\)的因数！
dfs染色统计每个连通块的大小，计算有多少条简单路径即可
代码实现
cpp
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<unordered_map>
#include<set>
using namespace std;
using ll = long long;
#define rep(i, a, b) for(ll i = (a); i <= (b); i ++)
#define per(i, a, b) for(ll i = (a); i >= (b); i --)
//#define see(stl) for(auto&ele:stl)cout<<ele<<" "; cout<<'\n';
#define int ll
const int N = 1e5 + 5;
const int MX = 1e7 + 5;
int n, x;
struct node {
vector<int>e;
int val, tag, siz;
}a[N];
ll gcd(ll a, ll b) {
if (b == 0)return a;
return gcd(b, a % b);
}
ll lcm(ll a, ll b) {
return a * b / gcd(a, b);
}
void dfs(int u, int fa, int fac) {
if (lcm(a[u].val, fac) > fac)a[u].tag = -1;
else a[u].tag = 0;
for (auto& son : a[u].e) {
if (son == fa)continue;
dfs(son, u, fac);
}
}
void dfs2(int u, int fa) {
a[u].tag = 1; a[u].siz = 1;
for (auto& son : a[u].e) {
if (son == fa || a[son].tag != 0)continue;
dfs2(son, u);
a[u].siz += a[son].siz;
}
}
int mu[MX], vis[MX], p[MX], cnt;
void init() {
mu[1] = 1;
rep(i, 2, MX - 1) {
if (!vis[i])p[++cnt] = i, mu[i] = -1;
for (int j = 1; i * p[j] < MX; j++) {
vis[i * p[j]] = 1;
if (i % p[j] == 0)break;
mu[i * p[j]] = -mu[i];
}
}
}
void eachT() {
set<int>fac;
rep(i, 1, n)a[i].e.clear(), a[i].tag = 0,a[i].siz=1;
cin >> n >> x;
rep(i, 1, n - 1) {
int u, v; cin >> u >> v;
a[u].e.push_back(v), a[v].e.push_back(u);
}
rep(i, 1, n)cin >> a[i].val;
for (int i = 1; i * i <= x; i++) {
if (x % i == 0)fac.insert(i), fac.insert(x / i);
}
ll ans = 0;
for (auto& f : fac) {
ll now = 0;
dfs(1, 0, f);
rep(i, 1, n) {
if (a[i].tag == 0) {
dfs2(i, 0);
int s = a[i].siz;
now += s * (s - 1) / 2 + s;
}
}
ans += now * mu[x / f];
}
cout << ans << '\n';
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0), cout.tie(0);
init();
ll t = 1;
cin >> t;
while (t--) { eachT(); }
}