快速莫比乌斯变换（FMT）与莫比乌斯反演 例题：树上lcm

快速莫比乌斯变换

数学公式

• 记\(S\)为全集，\(T\)为其子集

\[\begin{align} &zeta变换:F(S)=\sum_{T\subseteq S}f(T)\\ \\ &莫比乌斯反演:f(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}F(T) \end{align} \]

• \(zeta\)变换与\(sosdp\)中的子集求和、超集求和一致，只不过这里的集合范畴不仅限于二进制集合
• 莫比乌斯反演的作用就在于将超集和或者子集和反演为原来的函数

代码实现（二进制集合）

\(zeta\)变换(子集和)

伪代码：

for 每一位 bit i:
    for 每个 mask:
        如果 mask 有第 i 位:
            F[mask] += F[mask 去掉第 i 位]

代码：

void zeta(vector<ll> &f, int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) { // 枚举每一位
        for (int mask = 0; mask < (1 << n); mask++) {
            if (mask & (1 << i)) { // 如果第 i 位是 1
                f[mask] += f[mask ^ (1 << i)];
            }
        }
    }
}

\(Mobius\)反演

伪代码：

for 每一位 bit i:
    for 每个 mask:
        如果 mask 有第 i 位:
            F[mask] -= F[mask 去掉第 i 位]

代码：

void mobius(vector<ll> &f, int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int mask = 0; mask < (1 << n); mask++) {
            if (mask & (1 << i)) {
                f[mask] -= f[mask ^ (1 << i)];
            }
        }
    }
}

---

数论中的莫比乌斯反演

若有：

\[F(n)=\sum_{d|n}f(d) \]

其中\(d|n\)表示\(d\)为\(n\)的因数

则有：

\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)·F\left( \frac{n}{d} \right) \]

其中\(\mu(d)\)为数论莫比乌斯函数，对应着莫比乌斯反演中的\((-1)^{|S|-|T|}\)；\(n\)对应着全集\(S\)；\(\frac{n}{d}\)对应着子集\(T\)

莫比乌斯函数的定义：

\[\mu(n)= \begin{cases} \begin{align} &1,&n=1\\ \\ &(-1)^k &n是k个不同质数的乘积\\ \\ &0 &n有平方因子 \end{align} \end{cases} \]

基于欧拉筛的\(\mu\)函数代码：

int mu[MX], vis[MX], p[MX], cnt;
void init() {
    mu[1] = 1;
    rep(i, 2, MX - 1) {
        if (!vis[i])p[++cnt] = i, mu[i] = -1;
        for (int j = 1; i * p[j] < MX; j++) {
            vis[i * p[j]] = 1;
            if (i % p[j] == 0)break;
            mu[i * p[j]] = -mu[i];
        }
    }
}

例题：树上lcm

思路

设\(f(x)\)为路径\(lcm\)为\(x\)的简单路径数

由于涉及因数与求和，联想到莫比乌斯反演

\[设f(x)=\sum_{d|x}\mu(d)g\left( \frac{x}{d} \right) \]

由莫比乌斯反演：

\[g(n)=\sum_{d|n}f(d) \]

因此得到\(g(n)\)的定义：路径\(lcm\)为\(n\)的因数的简单路径数

因此可以先将整棵树上不是\(x\)的因数的节点删去，此时每个连通块内的任意两点构成的简单路径的\(lcm\)都是\(x\)的因数！

dfs染色统计每个连通块的大小，计算有多少条简单路径即可

代码实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<unordered_map>
#include<set>
using namespace std;
using ll = long long;
#define rep(i, a, b) for(ll i = (a); i <= (b); i ++)
#define per(i, a, b) for(ll i = (a); i >= (b); i --)
//#define see(stl) for(auto&ele:stl)cout<<ele<<" "; cout<<'\n';
#define int ll
const int N = 1e5 + 5;
const int MX = 1e7 + 5;
int n, x;
struct node {
    vector<int>e;
    int val, tag, siz;
}a[N];

ll gcd(ll a, ll b) {
    if (b == 0)return a;
    return gcd(b, a % b);
}
ll lcm(ll a, ll b) {
    return a * b / gcd(a, b);
}

void dfs(int u, int fa, int fac) {
    if (lcm(a[u].val, fac) > fac)a[u].tag = -1;
    else a[u].tag = 0;
    for (auto& son : a[u].e) {
        if (son == fa)continue;
        dfs(son, u, fac);
    }
}

void dfs2(int u, int fa) {
    a[u].tag = 1; a[u].siz = 1;
    for (auto& son : a[u].e) {
        if (son == fa || a[son].tag != 0)continue;
        dfs2(son, u);
        a[u].siz += a[son].siz;
    }
}

int mu[MX], vis[MX], p[MX], cnt;
void init() {
    mu[1] = 1;
    rep(i, 2, MX - 1) {
        if (!vis[i])p[++cnt] = i, mu[i] = -1;
        for (int j = 1; i * p[j] < MX; j++) {
            vis[i * p[j]] = 1;
            if (i % p[j] == 0)break;
            mu[i * p[j]] = -mu[i];
        }
    }
}

void eachT() {
    set<int>fac;
    rep(i, 1, n)a[i].e.clear(), a[i].tag = 0,a[i].siz=1;

    cin >> n >> x;
    rep(i, 1, n - 1) {
        int u, v; cin >> u >> v;
        a[u].e.push_back(v), a[v].e.push_back(u);
    }
    rep(i, 1, n)cin >> a[i].val;

    for (int i = 1; i * i <= x; i++) {
        if (x % i == 0)fac.insert(i), fac.insert(x / i);
    }

    ll ans = 0;
    for (auto& f : fac) {
        ll now = 0;
        dfs(1, 0, f);
        rep(i, 1, n) {
            if (a[i].tag == 0) {
                dfs2(i, 0);
                int s = a[i].siz;
                now += s * (s - 1) / 2 + s;
            }
        }
        ans += now * mu[x / f];
    }
    cout << ans << '\n';
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    init();
    ll t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) { eachT(); }
}