伴随矩阵 -- 代数余子式矩阵的转置

✅ 伴随矩阵详解（Adjugate Matrix）

🔷 一、定义

设 A A A 是一个 n × n n \times n n×n 的方阵，伴随矩阵 （也称为伴随矩阵或共轭矩阵 ）记作 adj ( A ) \text{adj}(A) adj(A)，

它是由 A A A 的代数余子式矩阵的转置构成的矩阵。

📌 数学表达：

adj ( A ) = [ A i j ] T = [ C j i ] \text{adj}(A) = \left[ A_{ij} \right]^{\mathrm{T}} = \left[ C_{ji} \right] adj(A)=[Aij]T=[Cji]

其中：

A i j A_{ij} Aij：表示第 i i i 行第 j j j 列的代数余子式；
C i j = ( − 1 ) i + j ⋅ M i j C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} Cij=(−1)i+j⋅Mij：其中 M i j M_{ij} Mij 是去掉第 i i i 行第 j j j 列后的子式行列式。

🔷 二、代数余子式（Cofactor）

设矩阵 A = [ a i j ] A = [a_{ij}] A=[aij]，那么：

M i j M_{ij} Mij：去掉第 i i i 行和第 j j j 列后剩下的 ( n − 1 ) × ( n − 1 ) (n-1) \times (n-1) (n−1)×(n−1) 子矩阵的行列式；
C i j = ( − 1 ) i + j ⋅ M i j C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} Cij=(−1)i+j⋅Mij：代数余子式。

🔷 三、计算步骤

✍️ 步骤总结：

对于每个元素 a i j a_{ij} aij，计算其代数余子式 C i j C_{ij} Cij；
构建代数余子式矩阵 C = [ C i j ] C = [C_{ij}] C=[Cij]；
对 C C C 取转置，得到伴随矩阵 adj ( A ) \text{adj}(A) adj(A)。

🔷 四、例子

🎯 例子：设

A = [ 1 2 3 0 4 5 1 0 6 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{bmatrix} A= 101240356

第一步：计算代数余子式矩阵

我们逐项计算 C i j C_{ij} Cij：

C 11 = ( + 1 ) ⋅ ∣ 4 5 0 6 ∣ = 4 × 6 − 5 × 0 = 24 C_{11} = (+1)\cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} = 4\times6 - 5\times0 = 24 C11=(+1)⋅ 4056 =4×6−5×0=24
C 12 = ( − 1 ) ⋅ ∣ 0 5 1 6 ∣ = − ( 0 × 6 − 5 × 1 ) = − ( − 5 ) = 5 C_{12} = (-1)\cdot \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} = - (0\times6 - 5\times1) = -(-5) = 5 C12=(−1)⋅ 0156 =−(0×6−5×1)=−(−5)=5
C 13 = ( + 1 ) ⋅ ∣ 0 4 1 0 ∣ = 0 × 0 − 4 × 1 = − 4 C_{13} = (+1)\cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0\times0 - 4\times1 = -4 C13=(+1)⋅ 0140 =0×0−4×1=−4

类似计算所有 C i j C_{ij} Cij，得代数余子式矩阵：

C = [ 24 5 − 4 − 12 3 2 − 2 − 5 4 ] C = \begin{bmatrix} 24 & 5 & -4 \\ -12 & 3 & 2 \\ -2 & -5 & 4 \end{bmatrix} C= 24−12−253−5−424

第二步：转置得到伴随矩阵

adj ( A ) = C T = [ 24 − 12 − 2 5 3 − 5 − 4 2 4 ] \text{adj}(A) = C^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} 24 & -12 & -2 \\ 5 & 3 & -5 \\ -4 & 2 & 4 \end{bmatrix} adj(A)=CT= 245−4−1232−2−54

🔷 五、性质总结

✅ 性质 1：乘积与行列式

A ⋅ adj ( A ) = adj ( A ) ⋅ A = ∣ A ∣ ⋅ I n A \cdot \text{adj}(A) = \text{adj}(A) \cdot A = |A| \cdot I_n A⋅adj(A)=adj(A)⋅A=∣A∣⋅In

✅ 性质 2：逆矩阵公式

如果 A A A 可逆（即 ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \ne 0 ∣A∣=0），则：

A − 1 = 1 ∣ A ∣ ⋅ adj ( A ) A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{adj}(A) A−1=∣A∣1⋅adj(A)

✅ 性质 3： adj ( I ) = I \text{adj}(I) = I adj(I)=I

🔷 六、常见用途

用途	说明
解线性方程组	用 Cramer 法则时，需用到伴随矩阵
计算逆矩阵	当无法用高斯消元时，伴随矩阵法是备用方案
理论证明	行列式性质、线性变换等定理的证明中经常用到

🔷 七、注意事项

复杂度高 ：计算代数余子式需要多个 ( n − 1 ) × ( n − 1 ) (n-1) \times (n-1) (n−1)×(n−1) 行列式，计算量大；
仅适用于小矩阵或理论推导：在实际计算中，通常不使用伴随矩阵求逆，而用高斯-约当法更快。

🧠 小结

伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置；
它在矩阵求逆、行列式计算、线性代数理论中非常重要；
利用伴随矩阵可以表达：

A − 1 = 1 ∣ A ∣ ⋅ adj ( A ) A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{adj}(A) A−1=∣A∣1⋅adj(A)

但前提是 ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \ne 0 ∣A∣=0。

你提到的 I n I_n In，它是线性代数中的一个标准记号，意思如下：

✅ I n I_n In 是什么？

I n I_n In 表示一个 n × n n \times n n×n 的单位矩阵（Identity Matrix）。

🔷 什么是单位矩阵？

单位矩阵是一个对角线元素全为 1，非对角线元素全为 0 的方阵。

例如：

I 2 I_2 I2 表示 2 阶单位矩阵：

I 2 = [ 1 0 0 1 ] I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} I2=[1001]
I 3 I_3 I3 表示 3 阶单位矩阵：

I 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} I3= 100010001

🔷 单位矩阵的作用

矩阵乘法的单位元：

A I n = I n A = A AI_n = I_nA = A AIn=InA=A

类似于数值中的 1 ⋅ a = a 1 \cdot a = a 1⋅a=a。
定义逆矩阵 ：

如果 A A A 是可逆矩阵，那么有：

A A − 1 = A − 1 A = I n AA^{-1} = A^{-1}A = I_n AA−1=A−1A=In
线性变换中的恒等变换 ：

单位矩阵代表"不改变"的线性变换。