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在算法面试中，查找数组中第K个最大元素是一个经典问题。LeetCode第215题要求我们在未排序的数组中找到第K大的元素。本文将介绍两种高效的解决方案：快速选择算法和堆（优先队列）方法，帮助你全面掌握这道高频面试题。
问题描述
给定整数数组 nums 和整数 k，请返回数组中第 k 个最大的元素。
请注意，你需要找的是数组排序后的第 k 个最大的元素，而不是第 k 个不同的元素。
示例 1：
输入: [3,2,1,5,6,4], k = 2
输出: 5示例 2：
输入: [3,2,3,1,2,4,5,5,6], k = 4
输出: 4注意： 可以假设 k 总是有效的，即 1 ≤ k ≤ nums.length。
解法一：快速选择算法（QuickSelect）
算法思想
快速选择算法基于快速排序的分区思想，通过每次分区将数组分为两部分，然后根据目标位置选择继续分区其中一侧，从而在平均 O(n) 的时间复杂度内解决问题。
算法步骤
- 随机选择枢轴：为了避免最坏情况，随机选择一个元素作为枢轴
- 分区操作 ：
- 将大于枢轴的元素移到左侧
- 将小于等于枢轴的元素移到右侧
- 比较枢轴位置 ：
- 如果枢轴位置正好是k-1，返回该元素
- 如果位置大于k-1，在左半部分继续查找
- 如果位置小于k-1，在右半部分继续查找
Java实现
java
import java.util.Random;
class Solution {
public int findKthLargest(int[] nums, int k) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1;
int targetIndex = k - 1; // 第k大元素在降序数组中的索引
Random rand = new Random();
while (left <= right) {
// 随机选择枢轴并交换到末尾
int pivotIndex = left + rand.nextInt(right - left + 1);
swap(nums, pivotIndex, right);
// 分区操作，返回枢轴最终位置
int partitionIndex = partition(nums, left, right);
if (partitionIndex == targetIndex) {
return nums[partitionIndex];
} else if (partitionIndex > targetIndex) {
right = partitionIndex - 1;
} else {
left = partitionIndex + 1;
}
}
return -1; // 理论上不会执行到这里
}
// 分区函数：将大于枢轴的元素移到左侧
private int partition(int[] nums, int left, int right) {
int pivot = nums[right];
int i = left;
for (int j = left; j < right; j++) {
if (nums[j] > pivot) {
swap(nums, i, j);
i++;
}
}
swap(nums, i, right);
return i;
}
private void swap(int[] nums, int i, int j) {
int temp = nums[i];
nums[i] = nums[j];
nums[j] = temp;
}
}复杂度分析
- 时间复杂度 ：
- 平均情况：O(n)
- 最坏情况：O(n²)（但随机枢轴有效避免最坏情况）
- 空间复杂度：O(1)
算法特点
- 原地操作，不需要额外空间
- 平均性能优异
- 会修改原始数组
解法二：最小堆（优先队列）
算法思想
使用最小堆维护数组中最大的k个元素。堆顶元素（最小值）即为第k大的元素。
算法步骤
- 初始化大小为k的最小堆
- 遍历数组：
- 当堆大小小于k时，直接添加元素
- 当堆已满且当前元素大于堆顶时，替换堆顶元素
- 遍历结束后，堆顶元素即为结果
Java实现
java
import java.util.PriorityQueue;
class Solution {
public int findKthLargest(int[] nums, int k) {
// 创建最小堆
PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
for (int num : nums) {
if (minHeap.size() < k) {
minHeap.offer(num);
} else if (num > minHeap.peek()) {
minHeap.poll();
minHeap.offer(num);
}
}
return minHeap.peek();
}
}复杂度分析
- 时间复杂度：O(n log k)
- 空间复杂度：O(k)
算法特点
- 不修改原始数组
- 适合处理流式数据
- 代码简洁易懂
- 时间复杂度稳定
两种解法比较
| 特性 | 快速选择算法 | 最小堆方法 |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | 平均 O(n)，最坏 O(n²) | O(n log k) |
| 空间复杂度 | O(1) | O(k) |
| 是否修改数组 | 是 | 否 |
| 适用场景 | 空间要求高，可修改数组 | 流式数据，保持原数组不变 |
| 稳定性 | 不稳定 | 稳定 |
测试示例
java
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Solution solution = new Solution();
int[] nums1 = {3, 2, 1, 5, 6, 4};
int k1 = 2;
System.out.println("示例1: " + solution.findKthLargest(nums1, k1)); // 5
int[] nums2 = {3, 2, 3, 1, 2, 4, 5, 5, 6};
int k2 = 4;
System.out.println("示例2: " + solution.findKthLargest(nums2, k2)); // 4
int[] nums3 = {7, 6, 5, 4, 3, 2, 1};
int k3 = 3;
System.out.println("示例3: " + solution.findKthLargest(nums3, k3)); // 5
}
}总结
LeetCode 215题"数组中的第K个最大元素"有两种高效解法：
-
快速选择算法：
- 优点：平均时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)
- 缺点：最坏情况O(n²)，修改原数组
- 适用场景：空间要求高，可接受修改数组
-
最小堆方法：
- 优点：时间复杂度稳定O(n log k)，不修改原数组
- 缺点：空间复杂度O(k)
- 适用场景：流式数据，需要保持原数组不变
根据具体问题场景选择合适的解法：
- 对于内存敏感的场景，优先选择快速选择算法
- 对于需要保持原数组或处理流式数据的场景，选择最小堆方法
掌握这两种解法及其适用场景，可以帮助你在面试中灵活应对不同变种问题。