动态规划第二弹：路径类问题（不同路径，珠宝的最高价值，地下城游戏）

我们可以定义 dp $i$ $j$ 表示，当机器人走到**(i，j)**位置时，一共有多少种方式。
下图中，当机器人走到三角的位置，他只可能从上面和左边走到该位置，而上面和左边位置的总的路径数量分别是 dp $i$ $j-1$ 和dp $i-1$ $j$ 。那么三角位置路径数量就是上面和左边位置路径数量之和。即 dp $i$ $j$ = dp $i$ $j-1$ + dp $i-1$ $j$ 。

这道题的核心部分已经讲完，接下来讲一下细节处理问题。

因为当前位置的dp值需要二维数组上面和左边的dp值进行赋值，所以第一行和第一列的元素，如果按照状态转移方程赋值，会发生越界。
但是第一行第一列的dp值手动初始化，就太麻烦。
因此，可以在原二维矩阵上，多加上一行和一列，从下标 (1, 1) 位置开始处理，就不会越界。
不过多加的一行和一列元素如何初始化，这需要根据题目来定。首先，(1, 1) 位置的dp值一定为1，所以它上面或者左边的元素其中一个初始化为1即可。剩下的元素全部初始化为0。

（3）代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) 
    {
        // 创建dp表，多加一行和一列
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));   
        // 初始化值
        dp[0][1] = 1;

        // 填表
        for(int i = 1; i <= m; i++)  // 从上往下遍历每一行
            for(int j = 1; j <= n; j++)  // 从左往右遍历每一行
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];

        return dp[m][n];
    }
};

2. 珠宝的最高价值

（1）题目及示例

题目链接： LCR 166. 珠宝的最高价值 - 力扣（LeetCode）

现有一个记作二维矩阵 frame 的珠宝架，其中 frame $i$ $j$ 为该位置珠宝的价值。拿取珠宝的规则为：

只能从架子的左上角开始拿珠宝

每次可以移动到右侧或下侧的相邻位置

到达珠宝架子的右下角时，停止拿取

注意：珠宝的价值都是大于 0 的。除非这个架子上没有任何珠宝，比如 frame = $\[0$ ]。

示例 1：

输入： frame = $\[1,3,1$ , $1,5,1$ , $4,2,1$ ]
输出： 12
**解释：**路径 1→3→5→2→1 可以拿到最高价值的珠宝

（2）解题思路

这道题目跟不同路径类似，不过需要具体分析题目要求。

我们可以定义 dp $i$ $j$ 表示，当从 (0, 0) 走到**(i，j)**位置时，珠宝最高价值的总数。
走到红色三角位置前，有两种方式，一种是从上面来，另外一种是从左边来，但是我们统计的是珠宝的最高价值，所以是比较**(i, j - 1)** 和**(i - 1, j)** 位置的珠宝价值，最后加上**(i，j)**位置的珠宝价值。
所以状态转移方程为 dp $i$ $j$ = max(dp $i$ $j - 1$ , dp $i - 1$ $j$ ) + frame $i$ $j$ 。

状态转移方程分析写出来后，需要处理细节问题。

跟之前题目类似，第一行和第一列元素进行动态规划时，会越界。所以需要进行手动初始化，但是手动初始化比较麻烦。
因此，在原二维数组的基础上，多添加上一行和一列元素。
根据状态转移方程，全部初始化为0即可，这样不会影响原数组第一行第一列元素的赋值。

（3）代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int jewelleryValue(vector<vector<int>>& frame) 
    {
        // 创建dp表，多加上一行和一列
        int m = frame.size(), n = frame[0].size();
        // 默认初始化为0，所以不用单独赋值
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        
        for(int i = 1; i <= m; i++) // 从上往下遍历每一行
            for(int j = 1; j <= n; j++) // 从左往右遍历每一行
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + frame[i-1][j-1];
            
        return dp[m][n];
    }
};

3. 地下城游戏

（1）题目及示例

题目链接：174. 地下城游戏 - 力扣（LeetCode）

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的右下角。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在左上角的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数 （若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数 ，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

示例1：

输入：dungeon = $\[**-2,-3,3**$ , $**-5,-10,1**$ , $**10,30,-5**$ ]

输出：7

解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下，则骑士的初始健康点数至少为 7 。

示例 2：

输入：dungeon = $\[0$ ]

输出：1

（2）解题思路

这道题在Leetcode中难度是困难级别，我们尝试分析一下解题思路。

根据前两道做题经验，我们可以试着定义状态转移方程。定义 dp $i$ $j$ 为从起点出发，到**(i，j)**位置结束，所需的最小健康点数。

在绿色三角**(i，j)**的位置，骑士可以从上面和左边走过来，那么需要上面和左边健康点数中的较小值，并减去当前房间的数值。
可是绿色房间的数值如果很小，就有可能导致健康点数变成负数。如果经过绿色房间后，健康点数大于0。
但是从**(i，j)**的位置往下走或者往右走，可能会遇到房间数值是个很小的负数，导致绿色房间。

所以说，这种定义方式，写出的状态转移方程需要考虑后面的值。

从前往后的定义方式不行，我们可以换一种方式，从后往前。定义 dp $i$ $j$ 为从**(i，j)**位置开始，到终点右下角的房间结束，所需的最小健康点数。

骑士从绿色房间出发，可以往下面和右边的房间走，假设往右边的房间走，(i，j) 位置的健康点数加上该位置的数值，要大于等于**(i，j - 1)**位置的健康点数。
即 dp $i$ $j$ + d $i$ $j$ >= dp $i$ $j - 1$ ，解一下不等式，dp $i$ $j$ >= dp $i$ $j + 1$ - d $i$ $j$ 。同理走下面的房间，也会得到类似的式子 dp $i$ $j$ >= dp $i +1$ $j$ - d $i$ $j$ 。

我们要的是健康点数的最小值，所以要取dp $i$ $j + 1$ 和**dp $i + 1$ $j$ **中的较小值。
最后，如果d $i$ $j$ 的数值是一个很大的整数，导致dp $i$ $j$ 变成负数,。因为骑士健康点数小于等于0的情况下无法继续走下去，所以需要改成最小健康点数1。

最后处理细节问题，这次我们填表的顺序是从下往上，从左往右。

因此，多加的一行和一列在后面。靠近原数组右下角位置的右边和下面的元素，需要初始化为1。其余的初始化为正无穷。

（3）代码

cpp 复制代码

    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& d) 
    {
        // 创建dp表，多加上一行和一列
        int m = d.size(), n = d[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
        // 初始化两个位置的值为1
        dp[m][n-1] = dp[m-1][n] = 1;

        for(int i = m - 1; i >= 0; i--) // 从下往上遍历每一行
            for(int j = n - 1; j >= 0; j--) // 从右往左遍历每一行
                dp[i][j] = max(1, min(dp[i+1][j], dp[i][j+1]) - d[i][j]);
        
        return dp[0][0];
    }

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动态规划第二弹：路径类问题（不同路径，珠宝的最高价值，地下城游戏）

前言

1. 不同路径

（1）题目及示例

（2）解题思路

（3）代码

2. 珠宝的最高价值

（1）题目及示例

（2）解题思路

（3）代码

3. 地下城游戏

（1） 题目及示例

（2）解题思路

（3）代码

（1）题目及示例