文化水平：初二。
文章是一元二次方程概念性知识速通版。请不要盲目模仿文章中的格式。定义
一个正方形的面积是\(5\)，请列方程求出边长。
我国两年内总人口从\(139538\)万人增长到\(141177\)万人，请列方程求出年平均增长率。
在循环赛中，\(x\)个球队总计赛\(36\)场，求\(x\)。
以上这些实际问题分别列方程为：
\x\^2=5 \\
\1395380000(1+x)\^2=1411770000 \\
\\\frac {x(x-1)} 2=36 \\
这些方程都有一个共同点：展开后，\(x\)的最高次为\(2\)。
我们定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）。
一元二次方程的一般形式是\(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\)。其中，\(ax^2\)、\(bx\)和\(c\)分别叫做二次项、一次项和常数项，\(a\)、\(b\)分别叫做二次项系数、一次项系数。
一元二次方程的解应该写成\(x_1=a, x_2=b\)的形式。
一元二次方程的解法
一元二次方程我哪会解啊。我只会解一元一次方程。
直接开平方法
解方程：
\x\^2=9 \\
Hmm...我希望把一元二次方程转化为 一元一次方程，那我就利用算术平方根 进行降次。
\x=±\\sqrt 9=±3 \\
\x_1=3, x_2=-3 \\
简单😎。那么类比我们可以通过直接开方解出以下类型的方程：
\x\^2=k \\
\x\^2+h=k \\
\(x+h)\^2=k \\
\(x+h)\^2+p=k \\
练习
用直接开平方法解以下方程：
\(1)x\^2=9 \\
\(2)x\^2+1=\\frac {13} 4 \\
\(3)(x+2)\^2=5 \\
\(4)x\^2+8=\\frac {31}{4} \\
配方法
解方程：
\x\^2-4x+3=0 \\
啊，直接开平方法这不炸了吗，连开方都开不了。
那就配出【一个】平方。
\x\^2-4x+4=1 \\
\(x-2)\^2=1 \\
然后利用直接开平方法即可。
\x-2=±1 \\
\x_1=3, x_2=1 \\
这是二次项系数为\(1\)的配方法，那如果二次项系数不为\(1\)呢？
\2x\^2+x-3=0 \\
没事，让我们转化一下。
\x\^2+\\frac 1 2x-\\frac 3 2=0 \\
\x\^2+2\\cdot \\frac 1 4x+\\frac 1 {16}=\\frac {25}{16} \\
\(x+\\frac 1 4)\^2=\\frac {25}{16} \\
\x+\\frac 1 4=±\\frac 5 4 \\
\x_1=1, x_2=-\\frac 3 2 \\
练习
用配方法解以下方程：
\(1)x\^2 + 5x + 6 = 0 \\
\(2)x\^2 - \\frac 3 2x - 1 = 0 \\
\(3)2x\^2+ 12x - 14 = 0 \\
\(4)3x\^2 - 9x + 6 = 0 \\
公式法
有的同学说，主播主播，这个配方法还是太吃操作了，还十分的繁琐。有没有什么简单（无脑）又强势（迪奥）的方法推荐一下呢？
有的兄弟，有的。让我们把配方法里面的数字用字母表示，然后推算一遍。
\ax\^2+bx+c=0 \\
\x\^2+\\frac b ax+\\frac c a=0 \\
\x\^2+2\\cdot \\frac b {2a}x+\\frac {b\^2}{4a\^2}=\\frac {b\^2}{4a\^2}-\\frac c a \\
\(x+\\frac b {2a})\^2=\\frac {b\^2-4ac} {4a\^2} \\
\x+\\frac b {2a}=\\frac {±\\sqrt {b\^2-4ac}} {2a} \\
\x_1=\\frac {-b+\\sqrt {b\^2-4ac}} {2a}, x_2=\\frac {-b-\\sqrt {b\^2-4ac}} {2a} \\
有的同学要叫起来了。
是求根公式------最纯粹的力量 。这种方法被称作公式法。
从求根公式中，你可以看出一元二次方程根的个数和什么有关吗？
你发现，根号下的\(b^2-4ac\)是重点。当它大于\(0\)时，\(x_1\)和\(x_2\)是两个不相等的实数；当它等于\(0\)时，\(x_1\)和\(x_2\)是两个相等的实数；当它小于\(0\)时，\(x_1\)和\(x_2\)均不是实数。
因此，我们容易得出：
| \(b^2-4ac\) | 解的情况 |
|---|---|
| \(>0\) | 有两个不相等的实数根 |
| \(=0\) | 有两个相等的实数根 |
| \(<0\) | 没有实数根 |
这个时候有的同学又要叫起来了。
我们定义，\(b^2-4ac\)是一元二次方程的根的判别式，记为\(\Delta\)。
备注：在新版教材里，不强调\(\Delta\)。
练习
1. 用公式法解以下方程：
\(1)x\^2+4x-5=0 \\
\(2)3x\^2-x-2=0 \\
\(3)-2x\^2+2\\sqrt 2x+1=0 \\
2. 不解方程，判别方程根的情况：
\(1)x\^2+3x-1=0 \\
\(2)2y\^2-3y+4=0 \\
\(3)x\^2+5=2\\sqrt 5x \\
因式分解法
解方程：
\x\^2-x=0 \\
左边因式分解：
\x(x-1)=0 \\
可得两个一次方程：
\x=0\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (1)\\ \\ \\ x-1=0\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (2) \\
解得：
\x_1=0, x_2=1 \\
因式分解法 ，无师自通。
仅适用于左边可以因式分解的一元二次方程。
练习
用因式分解法解以下方程：
\(1)x\^2+6x=0 \\
\(2)9t\^2-(t-1)\^2=0 \\
\(3)25x\^2-5x+\\frac 1 4=0 \\
\(4)(x+1)\^2+8x+24=0 \\
备注：在实际应用中，没有要求一定要用哪种方法解方程，你可以选择合适的方法解方程。常用的顺序是：
因式分解法→公式法→配方法（被世界遗忘）
直接开平方法只在特殊情况下能用。
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
尝试环节略。
经过尝试，我们惊奇的发现对于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)，若有两个实数根\(x_1, x_2\)，则两根的和似乎都等于\(-\frac b a\)，两根的积都等于\(\frac ca\)。
能否进行验证呢？很简单，掏出我们最纯粹的力量。
\已知对于方程ax\^2+bx+c=0(\\Delta \\geq0)， \\
\其两根分别为x_1=\\frac {-b+\\sqrt {b\^2-4ac}} {2a}, x_2=\\frac {-b-\\sqrt {b\^2-4ac}} {2a} \\
\x_1+x_2=\\frac {-b+\\sqrt {b\^2-4ac}-b-\\sqrt {b\^2-4ac}} {2a}=-\\frac b a \\
\x_1x_2=\\frac {(-b)\^2-(\\sqrt {b\^2-4ac})\^2} {4a\^2}=\\frac {b\^2-b\^2+4ac} {4a\^2}=\\frac c a \\
证毕。
这个结论在求两根和/积或者反推方程式时十分好用。
速通完成！