文化水平：初二。
文章是一元二次方程概念性知识速通版。请不要盲目模仿文章中的格式。定义
一个正方形的面积是\(5\)，请列方程求出边长。
我国两年内总人口从\(139538\)万人增长到\(141177\)万人，请列方程求出年平均增长率。
在循环赛中，\(x\)个球队总计赛\(36\)场，求\(x\)。
以上这些实际问题分别列方程为：
\[x^2=5 \]
\[1395380000(1+x)^2=1411770000 \]
\[\frac {x(x-1)} 2=36 \]
这些方程都有一个共同点：展开后，\(x\)的最高次为\(2\)。
我们定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）。
一元二次方程的一般形式是\(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\)。其中，\(ax^2\)、\(bx\)和\(c\)分别叫做二次项、一次项和常数项，\(a\)、\(b\)分别叫做二次项系数、一次项系数。
一元二次方程的解应该写成\(x_1=a, x_2=b\)的形式。
一元二次方程的解法
一元二次方程我哪会解啊。我只会解一元一次方程。
直接开平方法
解方程：
\[x^2=9 \]
Hmm...我希望把一元二次方程转化为 一元一次方程，那我就利用算术平方根 进行降次。
\[x=±\sqrt 9=±3 \]
\[x_1=3, x_2=-3 \]
简单😎。那么类比我们可以通过直接开方解出以下类型的方程：
\[x^2=k \]
\[x^2+h=k \]
\[(x+h)^2=k \]
\[(x+h)^2+p=k \]
练习
用直接开平方法解以下方程：
\[(1)x^2=9 \]
\[(2)x^2+1=\frac {13} 4 \]
\[(3)(x+2)^2=5 \]
\[(4)x^2+8=\frac {31}{4} \]
配方法
解方程：
\[x^2-4x+3=0 \]
啊，直接开平方法这不炸了吗，连开方都开不了。
那就配出【一个】平方。
\[x^2-4x+4=1 \]
\[(x-2)^2=1 \]
然后利用直接开平方法即可。
\[x-2=±1 \]
\[x_1=3, x_2=1 \]
这是二次项系数为\(1\)的配方法，那如果二次项系数不为\(1\)呢？
\[2x^2+x-3=0 \]
没事，让我们转化一下。
\[x^2+\frac 1 2x-\frac 3 2=0 \]
\[x^2+2\cdot \frac 1 4x+\frac 1 {16}=\frac {25}{16} \]
\[(x+\frac 1 4)^2=\frac {25}{16} \]
\[x+\frac 1 4=±\frac 5 4 \]
\[x_1=1, x_2=-\frac 3 2 \]
练习
用配方法解以下方程：
\[(1)x^2 + 5x + 6 = 0 \]
\[(2)x^2 - \frac 3 2x - 1 = 0 \]
\[(3)2x^2+ 12x - 14 = 0 \]
\[(4)3x^2 - 9x + 6 = 0 \]
公式法
有的同学说，主播主播，这个配方法还是太吃操作了，还十分的繁琐。有没有什么简单（无脑）又强势（迪奥）的方法推荐一下呢？
有的兄弟，有的。让我们把配方法里面的数字用字母表示，然后推算一遍。
\[ax^2+bx+c=0 \]
\[x^2+\frac b ax+\frac c a=0 \]
\[x^2+2\cdot \frac b {2a}x+\frac {b^2}{4a^2}=\frac {b^2}{4a^2}-\frac c a \]
\[(x+\frac b {2a})^2=\frac {b^2-4ac} {4a^2} \]
\[x+\frac b {2a}=\frac {±\sqrt {b^2-4ac}} {2a} \]
\[x_1=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac}} {2a}, x_2=\frac {-b-\sqrt {b^2-4ac}} {2a} \]
有的同学要叫起来了。
是求根公式------最纯粹的力量 。这种方法被称作公式法。
从求根公式中，你可以看出一元二次方程根的个数和什么有关吗？
你发现，根号下的\(b^2-4ac\)是重点。当它大于\(0\)时，\(x_1\)和\(x_2\)是两个不相等的实数；当它等于\(0\)时，\(x_1\)和\(x_2\)是两个相等的实数；当它小于\(0\)时，\(x_1\)和\(x_2\)均不是实数。
因此，我们容易得出：
| \(b^2-4ac\) | 解的情况 |
|---|---|
| \(>0\) | 有两个不相等的实数根 |
| \(=0\) | 有两个相等的实数根 |
| \(<0\) | 没有实数根 |
这个时候有的同学又要叫起来了。
我们定义，\(b^2-4ac\)是一元二次方程的根的判别式，记为\(\Delta\)。
备注：在新版教材里，不强调\(\Delta\)。
练习
1. 用公式法解以下方程：
\[(1)x^2+4x-5=0 \]
\[(2)3x^2-x-2=0 \]
\[(3)-2x^2+2\sqrt 2x+1=0 \]
2. 不解方程，判别方程根的情况：
\[(1)x^2+3x-1=0 \]
\[(2)2y^2-3y+4=0 \]
\[(3)x^2+5=2\sqrt 5x \]
因式分解法
解方程：
\[x^2-x=0 \]
左边因式分解：
\[x(x-1)=0 \]
可得两个一次方程：
\[x=0\ \ \ \ \ \ \ (1)\ \ \ x-1=0\ \ \ \ \ \ \ (2) \]
解得：
\[x_1=0, x_2=1 \]
因式分解法 ，无师自通。
仅适用于左边可以因式分解的一元二次方程。
练习
用因式分解法解以下方程：
\[(1)x^2+6x=0 \]
\[(2)9t^2-(t-1)^2=0 \]
\[(3)25x^2-5x+\frac 1 4=0 \]
\[(4)(x+1)^2+8x+24=0 \]
备注：在实际应用中，没有要求一定要用哪种方法解方程，你可以选择合适的方法解方程。常用的顺序是：
因式分解法→公式法→配方法（被世界遗忘）
直接开平方法只在特殊情况下能用。
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
尝试环节略。
经过尝试，我们惊奇的发现对于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)，若有两个实数根\(x_1, x_2\)，则两根的和似乎都等于\(-\frac b a\)，两根的积都等于\(\frac ca\)。
能否进行验证呢？很简单，掏出我们最纯粹的力量。
\[已知对于方程ax^2+bx+c=0(\Delta \geq0)， \]
\[其两根分别为x_1=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac}} {2a}, x_2=\frac {-b-\sqrt {b^2-4ac}} {2a} \]
\[x_1+x_2=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac}-b-\sqrt {b^2-4ac}} {2a}=-\frac b a \]
\[x_1x_2=\frac {(-b)^2-(\sqrt {b^2-4ac})^2} {4a^2}=\frac {b^2-b^2+4ac} {4a^2}=\frac c a \]
证毕。
这个结论在求两根和/积或者反推方程式时十分好用。
速通完成！